1、经验模态分解

   经验模式分解（Empirical Mode Decomposition，EMD），是是由黄锷（N. E. Huang）在美国国家宇航局与其他人于1998年创造性地提出的一种新型自适应信号时频处理方法，特别适用于非线性非平稳信号的分析处理。该方法创造性的提出了固有模式的概念，同时证明了任意信号可以分解成一系列固有模式函数的理论。

   这种方法是建立在以下假设之上的：任意一个信号都是由固有模式函数（Intrinsic Mode Function，IMF）组成的，这里的分量可以是线性的或者是非线性的，一个信号可以由许多个固有模式的分量足成，若各个分量之间相互重叠，那么就形成了复合信号。

    IMF分量必须满足下面两个条件：

• 零点数和极点数在整个数据集中相同，或者两者最多相差一个。

• 由局部极大值和局部极小值构成的上下包络的均值在任意点的和满足为零。

   EMD可以用来分析非线性非平稳信号，信号经过一定分解之后得到的是一组表征时间尺度的IMF，而这些IMF分量都是窄带信号，因此可进行有效的HS（希尔伯特谱）分析。EMD不同于PCA（主成分分析）的一点在于，后者是基于信号的统计特性的，而EMD是基于信号的局部特性。EMD要么分解为IMF分量和余量的形式，要么被完全重构而没有任何的损失和是真。EMD能够分离出带有最高频率的项，高低经验模式频率能够在不同的时间内同时存在，而这是传统的傅里叶变换所不允许的。

   EMD的具体算法如下：

   假定信号都可以分解为若干IMF之和，该IMF分量满足线性或非线性均可，则可以按照下面的方式来筛选每个IMF分量：

• 首先将信号 全部的局部极大、小值点都找出来并连接起来，这里选取的是三次样条函数曲线，得到的两条曲线分别对应着原始数据的上包络 和下包络 ，上下两条包络之间包括了所有的原始数据序列。令 代表上包络线和下包络线的均值曲线，有：

• 令

• 判断 是否为一个IMF分量。 在理论上讲是一个IMF。然而一方面是使用的逼近函数即三次样条曲线逼近的过程，再者由于曲线的俯冲作用都会导致产生新的极值点，这些新产生的极值点都会使得原有数据序列的极值点发生变化，包括其大小和位置，那么这种情况下就会使得此时得到的 并不能够完全符合IMF分量应当有的条件，这时，我们就用 来代替 ，此时令 和 分别为    对应的上、下包络，重做一遍上述过程：

直到最后所得的 满足IMF条件为止。这时记：

则得到的 为信号 的IMF1分量，是原始信号中最高频率成分的表现。

• 从 中分离出高频分量 得到 ，这个差值信号即：

将 作为新的原始数据序列重新执行上面的步骤，直到满足预先规定的迭代停止条件，此时分解完毕。最终分解得到所有IMF分量及余量：

当 或者是 达到之前规定的循环结束条件（常规的做法是残余分量 满足单调）时，结束循环，那么 可表示为：

     即是最后分解得到的残余分量，它表征着数据序列的平均走势。各IMF分量 依次代表了数据序列由高到低不同频段的分量，并且各个频段分量会因数据序列自身的改变而发生改变。

2、集合经验模态分解

   集合经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）是针对EMD方法存在模态混叠现象的不足提出的一种噪声辅助的数据分析算法。

   模态混叠是指一个单一的IMF分量包含较宽离散尺度的信号或者是一个相似时间尺度的信号出现在不同的IMF分量中。当信号的时间尺度存在跳跃性的变化时，对信号进行EMD分解就会造成模态混叠。

   模态混叠一方面使时频分布中出现非常严重的锯齿线，另一方面会使单一的IMF分量失去应有的物理意义。另外对于两个同样的信号，如果只向其中一个信号中加入低阶随机噪声，则这个信号的EMD分解出来结果跟不加入噪声的信号相比会有很大的不同，这就是模态混叠导致的物理单一性的缺乏。

   集合经验模态分解将白噪声加入待分解的信号，由于高斯白噪声的统计特性满足频率均匀分布，因此添加了高斯白噪声后的数据序列不论在哪一个尺度上都是连续的，不同时间尺度的信号会自动分布到合适的参考尺度上。另外由于噪声的均值为0，则经过多次的平均值后，噪声将相互抵消，集成均值的结果就可以作为最终的分解结果。而EMD算法得到的各个IMF分量不满足连续的条件就会有模态混叠现象的产生。

   EEMD算法的流程图如下：

  可按以下步骤实现EEMD算法：

• 在待分析数据中加入白噪声：

• 分解上述加入白噪声之后的时间序列为各个IMF分量。

• 加入不同的白噪声，重复上述步骤。

• 将每次得到的各个IMF分量的均值作为最终的结果。

3、小结

   大脑是一个非常复杂的非线性系统，因此非线性动力学的方法在脑电信号的处理当中得到了广泛的应用。对脑电进行EMD分解，实现去噪功能的同时提取出代表原始信号主要信息的分量，这样再进行预测，识别效果更好。    在实际的临床应用中，不仅要预测到癫痫的发作，更为重要的是提取出满足病变性的癫痫特征波，然后加以识别，这样才能更好的对癫痫病症进行诊断。

   EMD算法得到的各个IMF分量可以局部表征数据序列的特性，所以说研究这些IMF分量来了解原始数据序列的特征信息将会更加准确有效。通常分解得到的前面若干个固有模式分量包含了原始数据中最显著、最主要的信息，而分解出来的最低频率的固态模式函数分量往往是代表了了信号的趋势项或者是均值。各IMF分量所包含的频率成分一方面与采样频率 紧密相关，另一方面则会因序列本身的变化而发生变化，所以EMD粉胶适合于分析处理非平稳、非线性的过程，是一种自适应的信号分解方法，且信噪比高。而EEMD针对EMD算法可能出现的模态混叠问题进行了改进。

4、参考（Reference）

[1] 宋焕荣. 癫痫脑电信号的提取和识别.大连理工大学[D]，2012.

[2]这篇文章能让你明白经验模态分解（EMD）——基础理论篇https://zhuanlan.zhihu.com/p/40005057

[3]算法—经验模态分解https://blog.csdn.net/kyang624823/article/details/78861187