高斯幼年时的老师为了刁难学生，在黑板上写下了这个式子

$1%2B2%2B3%2B%E2%80%A6%2B100%3D%EF%BC%9F$

这项麻烦的工作让全班同学都在为它忙着，但此时高斯脱口而出了答案，等于5050，让全班同学都惊呆了

这是一个广为流传的故事，经过多次修改后产生了许多版本，但事实上没人知道高斯当时到底是用的什么方法，

不过我们今天不仅仅只解决这一个式子

其实这个故事之前有一个小插曲，17世纪时雅各布伯努利(Jacob Bernoulli)他的《猜度术》中说他能发现1到1000的十次方之和，这可以在七分半内解决，最后的结果是91409924241424243424241924242500

这时你也许会想：三十二位数，什么鬼？七分半！手算？

当然不可能是手算的，为了弄清楚他的方法，我们进入今天的主题

自然数等幂和

首先我们考虑 $S_1(n)%3D1%2B2%2B%E2%80%A6%2Bn$

找到它的通项，很简单，将 $S_1(n)$ 重新排列

$S_1(n)%3Dn%2B(n-1)%2B%E2%80%A6%2B1$

$S_1(n)%3D1%2B2%2B%E2%80%A6%2Bn$

两式相加，其中每一项都等于n+1，且一共n项，即

$2S_1(n)%3Dn(n%2B1)%5CRightarrow%20S_1(n)%3D%5Cfrac12n(n%2B1)$

接下来提升难度

$S_%7B2%7D(n)%3D1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%E2%80%A6%2Bn%5E2$

要找到它的通项，乍一看有些不知所措，不过我们注意到一次幂的和通项为二次的多项式，不妨从三次方来考虑：

$x%5E3-(x-1)%5E3$

将后面的括号展开

$x%5E3-(x-1)%5E3%3Dx%5E3-x%5E3%2B3x%5E2-3x%2B1$

$%3D3x%5E2-3x%2B1$

对x从1加到n，上式变为

$n%5E3%3D3S_2(n)-3S_1(n)%2B1$

根据上面的结果就能得到

$S_2(n)%3D%5Cfrac13n%5E3%2B%5Cfrac12n%5E2%2B%5Cfrac16n%3D%5Cfrac16n(n%2B1)(2n%2B1)$

接下来难度继续增加，

$S_k(n)%3D1%5Ek%2B2%5Ek%2B%E2%80%A6%2Bn%5Ek%3D%5Csum_%7Bu%3D1%7D%5E%7Bn%7Du%5Ek$

沿用二次幂的思路，将

$x%5E%7Bk%2B1%7D-(x-1)%5E%7Bk%2B1%7D$

中的括号用牛顿二项式定理展开

$x%5E%7Bk%2B1%7D-(x-1)%5E%7Bk%2B1%7D%3D%5Csum_%7Bv%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-v%7Dx%5Ev$

其中 $%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%3D%5Cfrac%7B(k%2B1)!%7D%7Bv!(k%2B1-v)!%7D$ 为二项式系数，

对x从1加到n，左侧的差分就变为 $n%5E%7Bk%2B1%7D$ ，而右边则可交换求和次序，上式变为

$n%5E%7Bk%2B1%7D%3D%5Csum_%7Bv%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-v%7DS_v(n)$

于是，我们可以得到自然数等幂和的递推关系式

$S_k(n)%3D%5Cfrac1%7Bk%2B1%7Dn%5E%7Bk%2B1%7D%2B%5Csum_%7Bv%3D0%7D%5E%7Bk-1%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bk-v%2B1%7D%7D%7Bk-v%2B1%7DS_v(n)$

伯努利数

由上可知前n个自然数的k次幂和的通项为一k+1次多项式

不过这个递推表达式有些复杂了，于是我们来试着简化它一下

不妨来看一看这些多项式中有没有什么规律，这里我已经计算了 $S_0(n)$ 到 $S_7(n)$

$S_0(n)%3Dn$

$S_1(n)%3D%5Cfrac12n%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%7D$

$S_2(n)%3D%5Cfrac13n%5E3%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E2%7D%2B%5Cfrac16n$

$S_3(n)%3D%5Cfrac14n%5E4%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E3%7D%2B%5Cfrac14n%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D$

$S_4(n)%3D%5Cfrac15n%5E5%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E4%7D%2B%5Cfrac13n%5E3%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D-%5Cfrac1%7B30%7Dn$

$S_5(n)%3D%5Cfrac16n%5E6%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E5%7D%2B%5Cfrac5%7B12%7Dn%5E4%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E3%7D-%5Cfrac1%7B12%7Dn%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D$

$S_6(n)%3D%5Cfrac17n%5E7%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E6%7D%2B%5Cfrac12n%5E5%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E4%7D-%5Cfrac16n%5E3%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E2%7D%2B%5Cfrac1%7B42%7Dn$

$S_7(n)%3D%5Cfrac18n%5E8%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E7%7D%2B%5Cfrac7%7B12%7Dn%5E6%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E5%7D-%5Cfrac7%7B24%7Dn%5E4%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E3%7D%2B%5Cfrac1%7B12%7Dn%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D$

以降幂次排列，当中第二列的系数 $%5Cfrac12$ 和后面偶数列的系数0格外显眼，于是我将它标上了红色

首先由前面的结论我们知道 $S_k(n)$ 最高次项的系数为 $k%2B1$ ，又大概知道了所有偶数列的规律，接下来看第三列，当中 $%5Cfrac5%7B12%7D%2C%5Cfrac7%7B12%7D$ 引起了我们注意，于是我们发现似乎 $S_k(n)$ 第三列系数的规律是 $%5Cfrac%20k%7B12%7D$ ，但其他列的规律就有点不好找了，那么我们来看看Bernoulli的想法吧

Bernoulli猜测自然数等幂和按降次幂排列的第n列取决于该列第一个数，后来人们将这些数命名为伯努利数（Bernoulli numbers），这里将第n个伯努利数记为 $%5Cbeta_n$ ，且 $%5Cbeta_0%3D1$

嗯，这跟我们发现的规律有一丢丢相似，下面我们就从伯努利的思路出发吧

首先我们应该找出一个能够计算伯努利数比较方便的式子，根据

$n%5E%7Bk%2B1%7D%3D%5Csum_%7Bu%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20u%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-u%7DS_u(n)$

对n取导数，可以得到

$kn%5E%7Bk%7D%3D%5Csum_%7Bu%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20u%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-u%7DS_u'(n)$

这显然是一个十分弱智的行为，但如果将n＝0代入， $S_u'(0)$ 其实就是第u个伯努利数

$%5Csum_%7Bu%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20u%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-u%7D%5Cbeta_u%3D0%20$

$%5CRightarrow%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20n%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bn%7D%5Cbeta_n%3D0$

再根据 $%5Cbeta_0%3D1$ 就能得到伯努利数的一种计算方法了

有了伯努利数的计算方法，就可以计算前几个伯努利数了，分别是

$%5Cbeta_1%3D%5Cfrac12%2C%5Cbeta_2%3D%5Cfrac16%2C%5Cbeta_3%3D0%2C%5Cbeta_4%3D-%5Cfrac1%7B30%7D%2C%5Cbeta_5%3D0%EF%BC%8C$

$%5Cbeta_6%3D%5Cfrac1%7B42%7D%2C%5Cbeta_7%3D0%2C%5Cbeta_8%3D-%5Cfrac1%7B30%7D%2C%5Cbeta_9%3D0%2C%5Cbeta_%7B10%7D%3D%5Cfrac5%7B66%7D$

对上式求“高阶导”并代入n=0亦能得到自然数等幂和的通项中其他系数间的关系

接下来我们回归主题——等幂和

引入 $S_k(n)$ 的生成函数：

$F(n%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_k(n)%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

由于 $S_k(n)$ 的递推关系比较复杂，我们直接将其定义代入

$F(n%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5Enm%5Ek%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5En%5Ccolor%7Bgreen%7D%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(mx)%5Ek%7D%7Bk!%7D%7D$

注意到其中绿色部分为 $e%5E%7Bmx%7D$ 零点处的Taylor级数展开，再根据等比数列求和公式，有

$F(n%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_k(n)%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3De%5Ex%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Be%5Ex-1%7D$

这样就能用 $F(n%3Bx)$ 来计算 $S_k(n)$ 了：

$S_k(n)%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bd%5Ek%7D%7Bdx%5Ek%7DF(n%3Bx)%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bd%5Ek%7D%7Bdx%5Ek%7D%5Cleft(e%5Ex%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Be%5Ex-1%7D%5Cright)$

当然，对这个分式求导是个麻烦的工作，我们来寻找一种更简便的方法

在生成函数中对n取“导数”，并代入n=0

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20n%7DF(0%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_k'(0)%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D%7D$

于是我们又得到了伯努利数的生成函数定义，将它代入到 $S_k(n)$ 的生成函数中

$F(n%3Bx)%3De%5Ex%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Be%5Ex-1%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Bx%7D%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Bx%7D%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%7D$

再将 $%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Bx%7D$ 在零点处展开为Taylor级数

$F(n%3Bx)%3D%5Cleft(%5Csum_%7Br%3D0%7D%5E%5Cinfty%20n%5E%7Br%2B1%7D%5Cfrac%7Bx%5Er%7D%7B(r%2B1)!%7D%5Cright)%5Cleft(%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%5Cright)$

由柯西乘积公式，可得

$%5Cbegin%7Baligned%7DF(n%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cleft(%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7B%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D%5Cright)x%5Ek%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7Bk!%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D%5Cright)%7D%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%5Cend%7Baligned%7D$

对比 $F(n%3Bx)$ 的定义中的系数，有

$S_k(n)%3D%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7Bk!%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D%3D%5Cfrac1%7Bk%2B1%7D%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7B(k%2B1)!%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D$

$%5CRightarrow%20S_k(n)%3D%5Cfrac1%7Bk%2B1%7D%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20r%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D$

最终，我们将二维的自然数等幂和用一维的伯努利数表示了出来，实现了“降维打击”

第二类伯努利数

前面所介绍的是第一类伯努利数（也叫“原始的伯努利数”）

在上面的公式中，令n=1，因 $S_k(1)%3D1$ ，有

$%5Csum_%7Br%3D0%7D%5E%7Bk%2B1%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20r%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_r%3D1%2B%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%2B%E2%80%A6%2B%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3Dk%2B1$

取k为任一大于1的奇数，又有

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20n%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bn%7D%5Cbeta_n%3D1-%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%2B%E2%80%A6-%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3D0$

将两式作差，偶数项就全被减掉了，

$2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%203%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_3%2B%E2%80%A6%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3Dk%2B1$

我们已经计算了 $%5Cbeta_1%3D%5Cfrac12$ ，则

$2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%3D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%3Dk%2B1$

代入到上式中，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk%2B1%7D%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%203%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_3%2B%E2%80%A6%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk%2B1%7D$

$%5CRightarrow2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%203%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_3%2B%E2%80%A6%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3D0$

因为所有二项式系数均不为零，又根据k可取任意大于1的奇数，我们得到

$%5Cforall%20n%5Cgeq%201%2C%5Cbeta_%7B2n%2B1%7D%3D0$

根据伯努利数的生成函数定义

$%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-e%5E%7B-x%7D%7D%3D%5Cfrac%7B-x%7D%7Be%5E%7B-x%7D-1%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

用 $-x$ 替换 $x$ ，

$%5Cfrac%20x%7Be%5Ex-1%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(-1)%5Ek%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

当中所有偶数项均与伯努利数相同，而又由于伯努利数中除1外所有奇数项都等于0，所以其实 $%5Cfrac%20x%7Be%5Ex-1%7D$ 与 $%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D$ 的Maclaurin级数展开中只有一次项系数不同

$B_k%3A%3D(-1)%5Ek%5Cbeta_k$ 就是第二类伯努利数，只需在第一类伯努利数中将 $B_1$ 换成 $-%5Cfrac12$ 就可以得到，虽然实际上它跟第一类伯努利数就只有一个数的区别，但这一个数的区别却使第二类伯努利数在应用中方便许多，因此许多地方用的都是第二类伯努利数