在数论中，我们常常遇到类似 $%5Csum%20u(n)v(n)$ 的和式子，其中 $u(x)$ 是一阶可导的实值或复值函数, $v(n)$ 是数论函数，本章将介绍分析中研究此类和式的一些方法

Abel求和公式（分部求和法）

看到它的另一个名字可能就有同学会想到微积分中的分部积分法

没错，他们其实是有联系的，我们先来回顾一下分部积分法

设 $u(x)%2Cv(x)$ 是[a,b]上连续可积的函数，对它们的乘积微分

$%5Cmathrm%20du(x)v(x)%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%20u(x%2Bh)v(x%2Bh)-u(x)v(x)%20$

$%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%20u(x%2Bh)v(x%2Bh)-u(x%2Bh)v(x)%2Bu(x%2Bh)v(x)-u(x)v(x)%20$

$%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%20u(x%2Bh)%5Cmathrm%20dv(x)%2Bv(x)%5Cmathrm%20du(x)%20%3Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)%2Bv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

对两边同时从a到b积分

$%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Cmathrm%20du(x)v(x)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)%2B%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

$%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)%3Du(b)v(b)-u(a)v(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

这就是著名的分部积分法，其实它本身也是一种分部求和法

为了得到Abel求和公式，我们先给出一个定义

$f(n)$ 为一数论函数， $%5CDelta%20f(n)%3Df(n)-f(n-1)$ 称为 $f(n)$ 的差分

我们不难推出它的一些性质

$%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cleq%20b%7D%5CDelta%20f(n)%3Df(%5Bb%5D)-f(%5Ba%5D)$
$%5CDelta%20u(n)v(n)%3Du(n)%5CDelta%20v(n)-v(n-1)%5CDelta%20u(n)$

其中 $%5Bx%5D$ 为取整函数，表示不大于x的最大整数

是不是觉得和微积分很像呢？那就对了！

我们在第二个性质中从a到b求和，利用第一个性质得到

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7D%5CDelta%20u(n)v(n)%26%3Du(%5Bb%5D)v(%5Bb%5D)-u(%5Ba%5D)v(%5Ba%5D)%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%2B%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Dv(n-1)%5CDelta%20u(n)%5Cend%7Baligned%7D$

因为 $u(x)$ 一阶可导，所以

$%5CDelta%20u(n)%3Du(n)-u(n-1)%3D%5Cint_%7Bn-1%7D%5E%7Bn%7D%5Cmathrm%20du(x)$

我们令 $v(x)%3Dv(%5Bx%5D)%2Cx%5Cin%20R$ ，则

$v(n-1)%5CDelta%20u(n)%3D%5Cint_%7Bn-1%7D%5E%7Bn%7Du(x)%5Cmathrm%20dv(x)$

上式从a到b求和的过程中，积分区间各不相交且可以很好的合并起来，即

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Dv(n-1)%5CDelta%20u(n)%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20%20du(x)$

于是，我们得到

$u(%5Bb%5D)v(%5Bb%5D)-u(%5Ba%5D)v(%5Ba%5D)%3D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%2B%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

$%5Cimplies%20%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%3Du(%5Bb%5D)v(%5Bb%5D)-u(%5Ba%5D)v(%5Ba%5D)-%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

式中的取整符号让它看起来不太美观，身为强迫症的我当然不能忍了

于是我们继续研究一下它

注意到

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%26%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%2B%5Cleft(%5Cint_%7Ba%7D%5E%7B%5Ba%5D%7D%2B%5Cint_%7B%5Bb%5D%7D%5E%7Bb%7D%5Cright)v(x)%5Cmathrm%20du(x)%5C%5C%26%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%2Bv(%5Ba%5D)%5Cint_%7Ba%7D%5E%7B%5Ba%5D%7Ddv(x)%2Bv(%5Bb%5D)%5Cint_%7B%5Bb%5D%7D%5E%7Bb%7D%5Cmathrm%20dv(x)%5C%5C%26%3D%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%2Bv(%5Ba%5D)u(%5Ba%5D)-v(a)u(a)%2Bv(b)u(b)-v(%5Bb%5D)u(%5Bb%5D)%5Cend%7Baligned%7D$

$%5CRightarrow%20%5Cint_%7B%5Ba%5D%7D%5E%7B%5Bb%5D%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)-v(%5Ba%5D)u(%5Ba%5D)%2Bv(%5Bb%5D)u(%5Bb%5D)%2Bv(b)u(b)-v(a)u(b)$

代入上式得到

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Du(n)%5CDelta%20v(n)%3Du(b)v(b)-u(a)v(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dv(x)%5Cmathrm%20du(x)$

不难看出它与微积分中的分部积分法只区别在 $v(n)$ 是一数论函数且 $v(x)%3Dv(%5Bx%5D)$

到这里其实它与真正的分部求和法已经差不了多少了，但还是有点缺一点美观，

而下面的这个就是“正宗货”了

设 $f(x)$ 为一[a,b]上一阶可导的函数， $G(n)$ 为一数论函数且 $G(x)%3DG(%5Bx%5D)%2CG(0)%3D0$

令 $g(n)%3D%5CDelta%20v(n)$ ，则 $v(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cleq%20x%7Dg(n)$

由上面的结论，得到

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%3Df(b)G(b)-f(a)G(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7DG(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx$

这才得到了大名鼎鼎的Abel分部求和公式■

Euler-Maclaurin求和公式

（为了偷懒我将它简称为E-M公式）

设 $f(x)$ 连续可导，由Abel求和公式出发，

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%3Df(b)G(b)-f(a)G(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7DG(x)%5Cmathrm%20df(x)$

不连续的G(x)有点碍眼，但并不妨碍我们对右式的积分用分部积分法

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dG(x)$

似乎变得奇怪起来了，但如果可以取得 $G(x)%3Dp(x)%2Bj(x)$ ，使 $p(x)$ 是一阶可导的

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)g(n)%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dp(x)%2B%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dj(x)%5C%5C%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dp'(x)f(x)%5Cmathrm%20dx%2Bf(b)j(b)-f(a)j(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dj(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx%5Cend%7Baligned%7D$

若取 $g(n)%3D1$ ，则 $G(x)%3D%5Bx%5D%3Dx-%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7D$ ，可得

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx-f(b)%5Cleft%5C%7Bb%5Cright%5C%7D%2Bf(a)%5Cleft%5C%7Ba%5Cright%5C%7D%2B%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7Df'(x)dx$

更合适的是取 $G(x)%3Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7D%5Cright)$ ，

记 $%5Crho%20(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cleft%5C%7Bx%5Cright%5C%7D$ ，则

$%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Cmathrm%20dx%2Bf(b)%5Crho%20(b)-f(a)%5Crho(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Crho(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx$

这就是最简单形式的E-M求和公式

不难发现 $%5Crho%20(x)$ 是周期为1的函数，且 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Crho(x)%5Cmathrm%20dx%3D0$

设 $%5Csigma(x)%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Crho(u)%5Cmathrm%20du$ ，由积分中值定理，得

$%5Cmathrm%20d%5Csigma(x)%3D%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%5Cint_%7Bx%7D%5E%7Bx%2Bh%7D%5Crho(u)%5Cmathrm%20du%3D%5Crho(x)%5Cmathrm%20dx$

于是，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Crho(x)f'(x)%5Cmathrm%20dx%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df'(x)%5Cmathrm%20d%5Csigma(x)%5C%5C%26%3Df'(b)%5Csigma(b)-f'(a)%5Csigma(a)-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Csigma(x)f''(x)%5Cmathrm%20dx%5Cend%7Baligned%7D$

代入上面的式子，得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Ba%3C%20n%5Cleq%20b%7Df(n)%26%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx%2Bf(b)%5Crho%20(b)-f(a)%5Crho(a)-f'(b)%5Csigma(b)%2Bf'(a)%5Csigma(a)%5C%5C%26%5Cquad%20-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Csigma(x)f''(x)dx%5Cend%7Baligned%7D$

这样我们又得到了E-M求和公式的一种形式

这一求和法在求渐进公式和近似计算中十分有用，且若继续推广，能得到更精确的逼近

但实际运用中常常只用到简单的形式，因此本篇文章不作讨论

Poison求和公式

为了方便，记 $e(x)%3De%5E%7B2%5Cpi%20ix%7D$

设 $f(x)$ 为R上连续且绝对可积的函数

考虑

$g(x)%3Df(x%2BnT)%2Cx%5Cin(0%2CT)%2Cn%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2CT%EF%BC%9E0$

易知它是周期为T的函数，令

$s(n)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Dg(x)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bnx%7DT%5Cright)dx$

由我们对它的定义，有

$s(k)%3D%5Cfrac1T%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7Dg(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%3D%5Cfrac1T%5Cint_%7BnT%7D%5E%7B(n%2B1)T%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du$

注意到 $s(k)$ 为 $g(x)$ 的Fourier展开中的Fourier系数，则

$%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Ds(k)e%5Cleft(%5Cfrac%7Bkx%7DT%5Cright)%3Dg(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cfrac1T%5Cint_%7BnT%7D%5E%7B(n%2B1)T%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%5Cright)e%5Cleft(%5Cfrac%7Bkx%7DT%5Cright)$

令 $M%EF%BC%9EN$ 为两个整数，根据积分区间可加性质：

$%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df(x)dx%2B%5Cint_%7Bb%7D%5E%7Bc%7Df(x)dx%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bc%7Df(x)dx$

对n从N累加到M-1，得到

$%5Csum_%7Bn%3DN%7D%5E%7BM%7Df(x%2BnT)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cfrac1T%5Cint_%7BNT%7D%5E%7BMT%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%5Cright)e%5Cleft(%5Cfrac%7Bkx%7DT%5Cright)$

此时令 $M%5Crightarrow%20-%5Cinfty%2CN%5Crightarrow%20%2B%5Cinfty$ ，

则括号里的积分变为 $%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du$ ，

不难发现它就是f的Fourier变换，即

$%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(u)e%5Cleft(-%5Cfrac%7Bku%7DT%5Cright)du%3D%5Chat%20f%5Cleft(%5Cfrac%20kT%5Cright)$

代入回原式里，就可以得到

$%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(x%2BnT)%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac1T%20%5Chat%7Bf%7D%5Cleft(%5Cfrac%20kT%5Cright)e%5E%7B2%5Cpi%20ikx%2FT%7D$