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伐木游戏

伐木游戏（Hackenbush）是数学家康威发明的一种数学游戏。

读过我之前几篇文章的读者肯定对康威这位数学界的“老顽童”不会陌生。

（没办法，他的研究成果都很戳我的High点）

伐木游戏的规则是这样：

1.     红蓝双方轮流从上图这样的红蓝图中取一根小棍；

2.     蓝方只能取蓝色小棍，红方只能取红色小棍；

3.     如果一根棍子无法通过其他棍子和地面联通了，那么也被拿掉；

4.     最后无棍子可取的一方输掉游戏。

康威最初的想法就是想用一个数字来表示一位玩家在一个局势下的“优势”。

为此，康威发明了一个记号：

G={L|R}

G代表某个局势

L代表在G局势下，如果红方先取，可能进入的局势的集合

R代表在G局势下，如果蓝方先取，可能进入的局势的集合

随着研究的深入，康威发现：

如果把G映射为某个玩家在这个局势下可以走的步数，这样构建出来的一套数字体系也可以有加减法，而且与我们已知的数的运算同构。

同构是个比较专业的术语，可以用一个例子简单理解下：

比如现在有两个局势G和H，他们在康威的体系下分别映射到数字1和2。

那么把这两种局势合并后，得到局势A，这个A就正好会映射到数字3。

关于两个局势如何合并，可以参考下图：

再举个通俗点的例子：

假如现在有个国家A和中国的人口一样多。

现在让每个中国人都在A国找一个一对一的笔友。

如果两个中国人x和y是父子关系，他们在A国的笔友x’和y’也是父子关系。

如果两个中国人α和β是母女关系，他们在A国的笔友α’和β’也是母女关系。

……

总之所有在中国的亲戚关系对应到A国的笔友后依旧是相同的亲戚关系。

那么中国和A国就构成了一种关于亲戚关系的同构。

因为你在A国可以画出一张和中国完全相同的亲戚结构图。

最自豪的成果

康威最有名的成果是《生命游戏》。

但是他最自豪的成果却是从伐木游戏中发明出来的这套数字体系。

这套数字体系现在被称为超实数。

由于网上资料不多，康威发明的超实数容易和另外两个概念混淆。

这里先做一下说明：

1.     康威发明的“超实数”英文名叫“Surreal Numbers”，还有一个数学分支叫“Hyperreal Numbers”，中文也翻译成“超实数”。

2.     康威还有另外项成果叫“康威数”，这是他在研究一种“外观数列”时发现的。

本文接下来说的“超实数”都是指康威发明的超实数体系。

当然，虽然这套数字体系是在研究伐木游戏时发明的，但康威并没止步于伐木游戏。

意识到这套数字体系可以涵盖现有的实数体系后，康威还发现了一些神奇的特性：

比如，可以构造出无穷小量和无穷大量。

比如，可以构造出大于0.99999……却小于1的数。

比如，可以构造出一个大于0，但又小于所有正数的数。

在这套体系中，一个数被定义成了两个集合的组合。

这两个集合的元素又都是数。

这些数又都是两个集合的组合。

如此循环往复……

那么，第一个数怎么来？

它就是0，是两个空集的组合。

爱因斯坦把万有引力重新定义成了时空的扭曲，就引起了物理学的一场革命。

而超实数体系重新定义的是数学中最基础的数，未来或许会引起更大的数学革命也未可知。

康威自己是这么评价他的这一发明的：

“我所发现的，不仅仅是数，还有数的一个奇妙的全新世界。”

康威将此作为自己最自豪的成果，然而大家却更热衷于吹捧他发明的“生命游戏”。

这就好比：

一个优秀的程序员，别人却总夸他打字速度快。

一个优秀的电竞选手，别人却总夸他皮肤好看。

一个优秀的作家，别人却总夸他字写得工整。

尴尬。

1981年，康威因为这一成果而成为了伦敦皇家自然知识促进会的会士。

在他签名的会士名册上，牛顿、爱因斯坦、图灵、罗素等大牛的名字都赫然在上。

“创数记”

高德纳是一位著名的计算机学家（1974年图灵奖得主）。

他的英文名Knuth直接音译应为“克努斯”。

1977年他访华时，中国图灵奖得主姚期智的夫人储枫给取的“高德纳”这个名字，被广泛沿用至今。

他开创了算法分析领域，设计了排版软件TEX（现在写论文要用到公式时都离不开它）。

说来也巧，他与康威的生日非常接近。

（康威1937.12.26，高德纳1938.01.10）

1972年，高德纳前往加拿大的卡尔盖大学参加一个学术会议。

在会议上，刚发明超实数的康威做了场学术报告。

报告的题目叫“所有的数字，无论大小（All Numbers Great and Small）”。

内容正是他新鲜出炉的超实数系统。

报告结束后，高德纳找到康威共进午餐。

在餐桌上，康威向高德纳详细介绍了他的新理论，还把规则写在餐巾纸上。

高德纳听得如痴如醉，如同着魔一般。

餐后他把那张餐巾纸给带回了家，准备慢慢研究。

次年，高德纳在挪威过度假时突然来了灵感，他想要写一部小说，来阐述超实数的思想。

他在挪威首都奥斯陆的旅馆租了个房间，在里面开始了闭关写稿。

在写小说时高德纳灵感乍现，想到了“超实数（Surreal number）”这个名字。

康威听到这个消息时非常懊悔自己没有想到这个名字。

Surreal这个单词由词根sur-和real组成。

Real number就是实数的意思。

而sur-这个词根有“超过，外面，上面”的意思，可以想想surround（环绕）。

在超实数系统中，每一个实数a周围都围绕着无数个比a大却比任何大于a的实数都小的超实数，以及无数个比a小却比任何小于a 的实数都大的超实数。

相当于每个实数被一堆超实数给“环绕”了起来，隔离了它周围的实数。

而surreal本来也是已有的单词，意思是“超现实”。

所以这个名字取得可谓是入木三分，也难怪康威要懊悔自己没有想到。

高德纳的小说以女孩Alice（A）和男孩Bill（B）两人的对话形式书写。

剧情是Alice和Bill到了印度洋上的一个荒岛上，他们在岛上发现了一些石碑写着超实数系统中的公理和创造数的过程，然后依据这些石碑的内容，他们重新复原了康威创造超实数体系的过程。

当然整部小说还有一个地方出现了第三个人C。

这个C就是康威（Conway）。

C的出场方式也很神奇：

C看着A和B感觉很捉急，然后天上就传来C浑厚的声音：

“垃圾，等到你们得到无限集”

A和B听到后的反应是：

A:什么？你听到了什么吗？听着像打雷。

B:恐怕快到季风季节了。

高德纳解释，这里不是约翰·何顿·康威（John Horton Conway，简写J·H·Conway），而是J·H·W·H·Conway。

J·H·W·H正是引用了上帝的“四字神名”在希伯来语中的缩写。

潜台词也就是说康威是超实数世界中的创世神。

终于，闭关6天后高德纳完成了小说（小说的插图后来由高德纳的妻子完成）。

小说的名字就叫《超实数（Surreal Numbers）》，这估计也是第一次有数学名词首次以小说的形式发表。

（这本书中译本叫《研究之美》，高博翻译）

有意思的是，小说有个副标题叫“两位前学生如何转向纯数学并找到了全部的幸福”。

这导致有部分人以为这是一本爱情小说。

结果读者们给出了两极分化的评价：

想要感受数学之美的读者给出了五星好评；

想要看风花雪月的读者给出了零分差评，“Stupid”，他们这样评价道。

但不管怎么说，从此以后，学术界就有了Surreal Number这个名字来表述康威的这套数字体系。

玩物不丧志

康威一生中最著名的成就《生命游戏》和最自豪的成就”超实数“都是在1970年完成的。

“奇迹年”

康威自己这样评价这一年。

（他还有另一项群论的成就也是1970年完成的）

《生命游戏》用三条规则开启了元胞自动机的新纪元。

超实数用两条规则从虚无重新创造了数字。

或许，他能有这两项成就都与他爱玩游戏有关。

建立规则，然后创造一个世界，其实这与设计游戏非常类似。

（当你遇到一些颠覆三观的概念难以理解时，不妨借鉴一下这个思路）

纵观数学史，其实不乏由游戏创造数学的例子：

图论起源于一个一笔画游戏（科尼斯堡七桥问题）

概率论起源于赌博游戏

博弈论本来就是研究游戏的理论

……

康威本人也可算是游戏的发烧友了。

同事们都在利用暑假来不受干扰地研究时，康威却喜欢去数学夏令营和孩子们玩游戏。

比如2015年，他就飞到德国不来梅的一个青少年数学营和学生们玩游戏。

完了还不过瘾，又飞到美国俄勒冈州的中学生夏令营继续玩……

显然，游戏没有毁掉这位传奇数学家，反而造就了他的传奇。

游戏中的规则可以自由制定，所以游戏中能够蕴含比现实生活更加复杂多变的数学模型。

很多时候，一种新的数学模型就能启发一种新的数学思想。

数学家经常用到一个套路“假设……”。

其实，这个“假设……”又何尝不能理解成一条游戏规则呢？

这或许就是康威能够不断从游戏中获取数学灵感的原因吧。