恒长旋转向量的导数
一个恒长旋转向量求导后得到的向量的方向与原向量相比，逆时针旋转了 ，而求导后得到的向量的长度与旋转角速度有关。
证明
例如 ，
1、对 求导，
结论：
与 相比，在方向上逆时针旋转了 90°，长度不变
2、对 t 求导
是关于 t 的函数， 或 ，前者角速度恒定，后者角速度是关于时间的函数。
结论：
与
相比，在方向上逆时针旋转了 90° ，在长度上变为原来的
倍。如果
作变速圆周运动，
的长度将会随着时间变化。
圆周运动中角速度和线速度的关系
一个质点以原点为圆心作圆周运动，设它的位移由 变成 ，如下图所示
是位移的变化量， ， 是弧度增量。
当 很小时，， 根据 ，可得
使用标量表示：
，方程两边同时除以 ，得 ，则得到 ，
这只是大小关系，考虑方向，使用叉乘，
阿基米德螺旋线
阿基米德螺旋线方程
阿基米德螺旋线的极坐标方程为： 这表示极径与 是线性关系，成正比。
它的参数方程为：
试图消去参数
这个方程无法化为显函数的形式，所以，最好用极坐标方程或参数方程来表示。我们以 为参数，用 matlab 画出它的图像。
syms theta
a=1;
r=a*theta;
x=r*cos(theta);
y=r*sin(theta);
fplot(x,y,[0,50],'LineWidth',1.5);
grid on
axis square
螺旋线的时间导数
设 为螺旋线的位移， ，可见， 对时间求导只是对 求导后乘上一个系数 而已，所以我们研究对 的导数，而不是对 t 的导数。
对螺旋线的参数方程求导
syms a theta
x=a*theta*cos(theta);
y=a*theta*sin(theta);
dx=diff(x,theta)
dy=diff(y,theta)结果如下
dx =
a*cos(theta) - a*theta*sin(theta)
dy =
a*sin(theta) + a*theta*cos(theta)
>> 这可以看成是两个向量的合成，分别为
和
分别令
其中， 的方向沿着半径向外，是法向速度， 沿着切线，与 垂直，总是指向逆时针方向，是切向速度。
可以看出 恒定时，切向速度随着 的增大而增大，法向速度恒定，此时质点一方面绕着原点作圆周运动，线速度越来越大；另一方面，又以恒定的速度远离原点。
切向速度的规律
这个切向速度与原来的螺旋线方程比起来有什么规律呢？
1. 螺旋线参数方程
2. 切向速度
可以发现，切向速度与螺旋线方程比起来就是逆时针旋转了 而已。
使用 matlab 画出切向速度的图像
clc;
clear;
close all;
syms theta
a=1;
x=a*theta*cos(theta+pi/2);
y=a*theta*sin(theta+pi/2);
fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','b');%画出切向速度，蓝色
grid on
axis square
hold on
x=a*theta*cos(theta);
y=a*theta*sin(theta);
fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','r');%画出阿基米德螺旋线，红色
切向速度可以使用 的公式。（合速度不行）
1、使用方程组得到 （ 的标量，即它的大小）
则标量方程为：
2、使用 得到
这两种方式得到的 一样，可见，对于任意的曲线运动，它的切向速度总是适用 ，但是它的合速度不能盲目地使用这个公式。
题外话——蚊香线
两条互差 180° 得阿基米德螺旋线就是蚊香得形状
clc;
clear;
close all;
syms theta
a=1;
x=a*theta*cos(theta+pi);
y=a*theta*sin(theta+pi);
fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','b');
grid on
axis square
hold on
x=a*theta*cos(theta);
y=a*theta*sin(theta);
fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','r');
在一个平面上切割两条阿基米德螺旋线，然后横着切两刀，剩下的部分丢掉，把要的部分扒开就是两盘蚊香了。
