一、定义

1.ZMP是Zero Moment Poin的缩写，是水平地面上机器人主动力和主动力矩合力矩水平分量为零的点。这里假定地面的摩擦力足够大。

考虑单脚支撑的情形。机器人腿对脚的作用力为，力矩为。脚的中心为G,重力为。假定为了保持平衡，地面需要给脚的作用力为，力矩为，作用在P点上。改变P的位置，当位置合适时为零。该点即为ZMP。

单脚支撑

可以列出足部的静态平衡方程：

在水平面上投影即可求出ZMP的位置。

2. CoP是Center of Pressure的缩写，是指地面反力合力的作用点。CoP上的力矩在水平方向分量为零。

二、讨论

（a）两个脚底与地面接触的支撑多边形（b）一个脚底与地面接触，一个脚尖和地面接触的支撑多边形

1. ZMP是根据脚踝处受力计算出来的等效点。

（1）若该点在支撑多边形（见上图）以内，则该步态动态平衡，因为足底可以提供足够的作用力使其等效作用点为ZMP。

（2）若该点在在支撑多边形外，则更名为FZMP（fictitious ZMP），因为足底不能提供等效作用点在该点的力。这时，ZMP无意义。FZMP上的力等效在支撑多边形的边界上，会产生附加力偶，由于边界和地面无力矩，该力矩无法提供，因此有一个来自脚踝的力矩的水平分量无法平衡，机器人就会沿该边界翻转（倾覆）。

（a）计算的ZMP（P点）在支撑多边形外侧（b）结果会导致翻转

2. CoP和ZMP在机器人动态平衡时是同一个点，但不平衡时不相等。考虑下方三个图，（a）图中ZMP与CoP相等，因为都是同一个水平力矩为零的等效点。（b）图二者不相等，因为此时计算的ZMP在支撑多边形外侧，脚会沿着边界旋转，ZMP此时不存在。而CoP是脚上作用力的简化，因此CoP此时在边界上。（c）图是特殊情况，此时机器人是“踮脚尖”站立，保持平衡，与（a）中情况一样。

ZMP与CoP

3. ZMP检验是步态稳定的必要条件。检验的是步态的可行性而不是稳定性。根本上是在检验支撑多边形是否足够大。在下图中的两个机器人位姿相同，受力情况相同，但速度不同。可以构造条件使（a）图稳定而（b）图不稳定，而二者的ZMP条件是相同的。

ZMP并不是稳定性判据

4. ZMP在步态动态平衡时就是CoP，因此可以通过计算CoP来计算ZMP，并通过ZMP到支撑多边形边界的距离来表征摔倒的可能性。

参考资料：

1. Buschmann, Thomas. (2021). Simulation and Control of Biped Walking Robots. 

2. Vukobratovic, Miomir & Borovac, Branislav. (2004). Zero-Moment Point - Thirty Five Years of its Life.. I. J. Humanoid Robotics. 1. 157-173. 10.1142/S0219843604000083. 

3. 林玎玎, 刘莉, 赵建东, & 陈恳. (2004). 双足步行机器人的zmp-cop检测及研究. 机器人(04), 368-372.

撰稿：吴奇