并矢格林函数&矢量位函数法

狮子朗道

编辑于 2024年09月19日 21:06

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并矢格林函数&矢量位函数法

我们可能知道: 当已知场源的分布, 求空间中场分布可以用, 在格林函数法的帮助下, 我们可以得到基尔霍夫公式, 菲涅尔公式 $U(r)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Clambda%7D%5Ciint%7BK(%5Ctheta)4%5Cpi%20g(r%2Cr')U(r')%7Ddr'$ . 但当我们知道电流源时, 也会类似的公式.

如(电)并矢格林函数被定义为:

$%5Coverline%7BG%7D(r%2Cr')%5Cequiv%20%5Cleft(%20%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BI%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5Cnabla_r%20%5Cnabla_r%20%5Cright)%20%20g(r%2Cr')%20%5Ctag%7B1%7D$

这是因为，当只考虑空间中的电流源，不考虑磁场源时，有电场:

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%0A%5Cvec%7BE%7D(r)%26%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Ciiint%7B%5Cleft(%20%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BI%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5Cnabla_r%20%5Cnabla_r%20%5Cright)%20%20g(r%2Cr')%5Ccdot%5Cvec%7BJ%7D(r')%7Ddr'%20%5Ctag%7B2%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Ciiint%7B%5Coverline%7BG%7D(r%2Cr')%5Ccdot%5Cvec%7BJ%7D(r')%7Ddr'%0A%0A%5Cend%7Balign*%7D$

(2)式中, 由电流源乘以传播函数计算场分布的方法被称为矢量位函数法

若我们对亥姆霍兹方程:

$%5Cnabla%5E2%5Cvec%7BE%7D%2Bk%5E2%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cvec%7BJ%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cepsilon%7D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BJ%7D)%20%5Ctag%7B3%7D$

直接使用格林函数法解上述方程

$%5Cvec%7BE%7D%3D%5Ciiint%7B%20%5Cleft%5B%20%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cvec%7BJ%7D(r')-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cepsilon%7D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BJ%7D(r'))%20%5Cright%5D%20g(r%2Cr')%7Ddr'%20%5Ctag%7B4%7D$

并不能得到方程的解为(2). 此(3)方法为直接法，即直接由源的分布求得总场，不借助矢量位函数. 实际计算中源不一定连续，这会导致直接法中的导数不成立，除非引入 $%5Cdelta$ 函数计算，而矢量位函数法则可放宽对源形式的要求.

我们下面对上述结论(2)矢量位函数法, (4)直接法进行推导.

准备工作

本文默认读者知道麦克斯韦方程组, nabla算子的计算等知识, 但对于一些本科并不常用的数学工具还是理应进行简单介绍, 我们介绍下面并矢与格林函数法.

并矢并矢英文是dyadic或者dyadic tensor, 是大名鼎鼎的吉布斯Josiah Willard Gibbs在他的著作《矢量分析》*Vector Analysis*中提出的. 向量与向量的并矢不点不叉就是单纯地把俩向量放在一起, 左边和右边与其他矢量正常计算. 并矢应满足: 我们发现可以表示为，的列向量右乘的横向量. 点乘（内积）比较显然，左乘横向量或者右乘列向量即可。叉乘（向量积）需要借助置换符号的帮助. 由于历史沿革，我们在电动力学中一般没那么严格地考虑向量是列向量还是行向量，也没有什么教材严格地按照张量的标记推导电动力学。我也无力这么做，我们继续使用并矢这一由伟大的物理学家吉布斯发明的记号。称为单位并矢，可以看到并不能拆解为列向量右乘行向量, 只能在张量积算中利用单位基矢的正交性表示, 在二位矩阵中, 可以表示为单位矩阵.
格林函数法 在这里，我们仅作物理上的定义和计算，不详细追究格林函数和德尔塔函数的数学细节. 只讨论物理应用. 我们定义方程的通解是格林函数值得一提的是, 对于格林函数的傅里叶变换有, 点源的传播函数可以推导出推迟势. 继续解方程, 通过叠加原理可知: 方程的通解应为所以, 对于微分方程我们可以利用黎曼求和与叠加原理进行求解: 的解应为

化简麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组有

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BB%7D%20%3D%200%20%5C%5C%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BE%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cvec%7BB%7D%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BB%7D%20%3D%20%5Cmu%5Cvec%7BJ%7D%2B%5Cmu%5Cepsilon%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cvec%7BE%7D%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign*%7D%20%5Ctag%7B5%7D$

我们现在考虑时协场 $%5Cvec%7BE%7D%5Cmathbb%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%20t%7D$ , $%5Cvec%7BH%7D%5Cmathbb%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%20t%7D$ 带入麦克斯韦方程组,

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon%7D%20%5Ctag%7B6%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BH%7D%20%3D%200%20%5Ctag%7B7%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BE%7D%20%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cvec%7BH%7D%20%5Ctag%7B8%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BH%7D%20%3D%20%5Cvec%7BJ%7D%2B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cepsilon%5Cvec%7BE%7D%20%5Ctag%7B9%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign*%7D$

1. 直接法

对(7)式左乘 $%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes$ , 并带入 $%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%3D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot)-%5Cnabla%5E2$ .

$(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot)-%5Cnabla%5E2)%5Cvec%7BE%7D%3D-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BH%7D$

带入(5)(8)式, 应注意, 在需要由源计算场的大部分情况, 并没有一个电中性回路(如超材料, 超表面). 此时, $%5Crho%5Cneq%200$ 电荷会在电路导体两端聚集.

$%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D)-%5Cnabla%5E2%5Cvec%7BE%7D%3D-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu(%5Cvec%7BJ%7D%2B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cepsilon%5Cvec%7BE%7D)$

我们知道波矢 $k%3D%5Comega%5Csqrt%7B%5Cmu%5Cepsilon%7D$ ,

$%5Cnabla%5E2%5Cvec%7BE%7D%2Bk%5E2%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cvec%7BJ%7D%2B%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BE%7D)%20%5Ctag%7B10%7D$

由于 $%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7Bf%7D%3D0$ , 我们对(9)式计算散度可得,

$%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BE%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cepsilon%7D%5Cvec%7BJ%7D$

带入(10)式, 即可的方程(3),

我们已经知道形如方程(a)的解应为(b), 代入上式即可得直接法(4),

2. 矢量位函数法

我们知道矢势 $%5Cvec%7BA%7D$

$%5Cvec%7BB%7D%3D%5Cmu%5Cvec%7BH%7D%3D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BA%7D%20%5Ctag%7B11%7D$

(11)代入(9)式,

$%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BA%7D%3D%5Cvec%7BJ%7D%2B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cepsilon%5Cvec%7BE%7D%20%5Ctag%7B12%7D$

同时(11)代入(8)式有

$%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BE%7D%20%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes%5Cvec%7BA%7D$

$%5CRightarrow%20%0A%0A%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ctimes(%5Cvec%7BE%7D%2B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cvec%7BA%7D)%20%3D%200%20%5Ctag%7B13%7D$

我们知道, Helmholtz定理: 二阶连续可微得场 $%5Cvec%7Bf%7D$ 可分解为无散度和无旋度两部分. 我们已经知道了(13) $%5Cvec%7BE%7D%2B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cvec%7BA%7D$ 的旋度部分为 $0$ 我们不妨设,

$%5Cvec%7BE%7D%2B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cvec%7BA%7D%3D-%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Cphi%20%5Ctag%7B14%7D$

将(14)代入(12).

$%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BA%7D)-%5Cnabla%5E2%5Cvec%7BA%7D)%3D%5Cvec%7BJ%7D%2B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cepsilon(-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cvec%7BA%7D-%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Cphi)$

$%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BA%7D)-%5Cnabla%5E2%5Cvec%7BA%7D%20%3D%20%5Cmu%5Cvec%7BJ%7D%2B%5Comega%5E2%5Cmu%5Cepsilon%5Cvec%7BA%7D-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cepsilon%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Cphi%20%5Ctag%7B15%7D$

选择洛伦兹规范(Lorenz Gauge) $%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%5Cvec%7BA%7D%3D-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cepsilon%5Cphi$ . 洛伦兹规范便于处理推迟势和推迟矢势问题，且该规范具有洛伦兹不变性.

$%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BA%7D)%20%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cepsilon%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Cphi%5Ctag%7B16%7D$

代入(15)得,

$%5Cnabla%5E2%20%5Cvec%7BA%7D%20%2B%20%5Comega%5E2%5Cmu%5Cepsilon%5Cvec%7BA%7D%20%3D%20-%5Cmu%5Cvec%7BJ%7D%20%5Ctag%7B%E2%98%86%7D$

根据格林函数法, 我们已经知道形如方程(a)的解应为(b), (☆)的解应为,

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%0A%5Cvec%7BA%7D(r)%20%26%3D%20%5Cmu%5Ciiint%7B%5Cvec%7BJ%7D(r')g(r%2Cr')%7Ddr'%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B4%5Cpi%7D%5Ciiint%7B%5Cvec%7BJ%7D(r')%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathbb%7Bi%7Dk%7Cr-r'%7C%7D%7D%7B%7Cr-r'%7C%7D%7Ddr'%20%5Ctag%7B%E2%98%85%7D%0A%0A%5Cend%7Balign*%7D$

我们现在求电场 $%5Cvec%7BE%7D$ 将(16)代入(14)得,

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%0A%5Cvec%7BE%7D(r)%20%26%3D%20-%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Cphi(r)%20-%20%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cvec%7BA%7D(r)%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cvec%7BA%7D(r)%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cepsilon%7D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BA%7D(r))%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Ciiint%7B%5Cvec%7BJ%7D(r')g(r%2Cr')%7Ddr'%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Cepsilon%7D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D_r(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D_r%5Ccdot%20%5Cmu%5Ciiint%7B%5Cvec%7BJ%7D(r')g(r%2Cr')%7Ddr')%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Ciiint%7B%5Cleft%5B%20g(r%2Cr')%5Cvec%7BJ%7D(r')%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%20%5Cvec%7B%5Cnabla%7D_r(%5Cvec%7B%5Cnabla%7D_r%5Ccdot%20g(r%2Cr')%5Cvec%7BJ%7D(r'))%20%5Cright%5D%20%7Ddr'%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Ciiint%7B%5Cleft(%20%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BI%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5Coverline%7B%5Cnabla_r%20%5Cnabla_r%7D%20%5Cright)%20%20g(r%2Cr')%5Ccdot%5Cvec%7BJ%7D(r')%7Ddr'%20%5Ctag%7B2%7D%0A%0A%5Cend%7Balign*%7D$

通过引入并矢, 我们化简得到了(2), 其中,

$%5Coverline%7B%5Cnabla_r%20%5Cnabla_r%7D%20%3D%20%5Cleft(%20%0A%0A%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%20%5Cpartial%20y%7D%20%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20x%20%5Cpartial%20z%7D%5C%5C%0A%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20y%20%5Cpartial%20x%7D%20%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%20%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20y%20%5Cpartial%20z%7D%5C%5C%0A%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20z%20%5Cpartial%20x%7D%20%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20z%20%5Cpartial%20y%7D%20%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20z%5E2%7D%20%0A%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%0A%0A%5Cright)$

定义并矢格林函数,

$%5Coverline%7BG%7D(r%2Cr')%5Cequiv%20%5Cleft(%20%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BI%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5Cnabla_r%20%5Cnabla_r%20%5Cright)%20%20g(r%2Cr')%20%5Ctag%7B1%7D$

在实际计算过程中, 对于确定的 $r$ 和 $r'$ , $%5Coverline%7BG%7D(r%2Cr')$ 是一个 $3%5Ctimes3$ 矩阵, 可以直接右乘列向量 $%5Cvec%7BJ%7D(r')$ , 计算内积. 此时,

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%0A%5Cvec%7BE%7D(r)%20%26%3D%20-%5Cmathbb%7Bi%7D%5Comega%5Cmu%5Ciiint%7B%5Coverline%7BG%7D(r%2Cr')%5Ccdot%5Cvec%7BJ%7D(r')%7Ddr'%20%5Ctag%7B%E2%96%A1%7D%0A%0A%5Cend%7Balign*%7D$

即, 使用矢量位函数法通过电流源分布计算场分布的方法.

写在最后

对与大部分物理本科生而言, 本科电动力学浅尝辄止. 不同于简单的直接法的推导, 可能会有人如果突然遇到突然给出的矢量位函数法会不知到如何推导. 本文就是在此背景下写的目的导向的笔记, 可能逻辑性比教材更差, 敬请见谅.

本文大量参考夜航船Nightcanoe同学文章[2-1 自由空间中的矢量位](https://nightcanoe.github.io/post/708b/), 在目的导向下对逻辑重新编排, 并对其中推导细节进行补充. 比如在格林函数法一节中, 笔者并没有介绍格林函数的细节, 而是直接给出格林函数的定义: 方程的通解, 并推理如何使用格林函数求解方程.

受限于本人水平, 本文难免有不当之处, 欢迎批评指正.

cv38949427

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