【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第三章旋转体——圆柱、圆锥和圆台的面积 

§3-7圆台的侧面展开图和它的侧面积

【01】圆台的侧面展开图，可以看成是两个圆锥侧面的展开图的差（图3·35）。也就是说，圆台侧面的展开图是从一个大扇形中减去一个小扇形后，所余下的部分。这两个扇形有相同的圆心角（α）。这个圆心角 α 可以这样求得。设圆台母线的长为 l，小扇形的半径为 l₁，那末大扇形的半径是 l＋l₁，

【02】由弧长的公式，得

【03】上面二式相减，得

【04】定理.圆台的侧面积等于它的两个底面周长的和与母线的长的积的一半.

【设】圆台（如图3·35）上底面的半径为 r₁，下底面的半径为 r，母线的长为 l  。

【求证】S侧＝π (r₁＋r) l  。

【证】

【05】我们从圆台的侧面展开图中，可以看出它的侧面积等于两个扇形面积之差。今设小扇形的半径为 l₁，则大扇形的半径就等于 l₁＋l  。由扇形的面积公式，得

【06】大扇形的面积是 π r (l＋l₁)；

【07】小扇形的面积是 π r₁ l₁  。

【08】上面的两个扇形面积之差，是

S＝π r (l＋l₁)－π r₁ l₁＝π [r l＋l₁ (r－r₁)]  。    (1)

【09】现在我们要设法用已知量来代替 l₁  。

【10】设如图3·36是圆台扩充成圆锥后的轴截面，

【11】其中 A₁O₁＝r₁，AO＝r，A₁A＝l，A₁V＝l₁  。

【12】因为 △VO₁A₁∽△VOA，

【13】∴ ，

【14】化简，得 ，把它代入(1)式，

【15】故 S侧＝π (r l＋r₁ l)＝π (r＋r₁) l  。

【16】推论.圆台的全面积等于它的两底面积之和再加上它的侧面积。

即   。

例1.试证一个圆台的侧面积，等于它的中截面的周长和母线之长的积。

【解】

【17】我们作圆台的轴截面 ACDB，MN 是圆台中截面的直径。设 O₁B＝r₁，OD＝r，BD＝l，在梯形 ACDB 中，MN 是它的中位线，因此

【18】MN＝(1/2)(AB＋CD)＝(1/2)(2r₁＋2r)＝r₁＋r，

【19】所以中截面的周长为 π (r₁＋r)，今再乘以母线 l，得 S侧＝π (r₁＋r) l  。

例2.圆台的侧面积等于它的高与以母线的垂直平分线夹在母线和轴间的线段为半径的圆的周长的积。

【解】

【20】作圆台的轴截面（如图3·38），M 是 AB 中点，KM⊥AB 交 O₁O（轴）于 K，又 N 是 O₁O 的中点，连 MN 则 MN⊥O₁O，过 O₁ 作 O₁B₁∥AB  。

【21】求证 S侧＝2π MK·O₁O  。如设 AB＝l，O₁O＝h，则要证明 S侧＝2π h MK  。

【22】因为，直角△MNK∽直角△O₁OB（因为锐角 ∠KMN＝∠OO₁B₁，它们的两边相互垂直）

【23】∴ MK:O₁B₁＝MN:O₁O，

【24】今以 h 代 O₁O，(1/2)(O₁A＋OB) 代 MN，又 O₁B₁＝AB＝l，

【25】于是上式可写成 MK:l＝(1/2)(O₁A＋OB):h，

【26】即 MK·h＝(1/2)(O₁A＋OB) l，

【27】又 O₁A＝r₁，OB＝r，

【28】∴ MK·h＝(1/2)(r₁＋r) l，

【29】把它代入 S侧＝2π MK·O₁O＝2π MK·h，

【30】则得 S侧＝π (r₁＋r) l，

【31】∴ S侧＝π(r₁＋r) l＝2πh·MK  。

例3.圆台的侧面积是 S，上下底面的半径分别是 r 和 R，求截成这圆台的原来圆锥的侧面积（图3·39）。

【解】

【32】设圆锥的母线长是 l，那末圆锥的侧面积是 πRl  。

【33】现在我们用 S，R，r 来表示 l  。

【34】因为圆台的侧面积 S＝π(R＋)·A₁A，

【35】所以圆台母线 A₁A 的长为   。

【36】又因 △VA₁O₁∽△VAO，

【37】得

【38】即

【39】∴

答：原来圆锥的侧面积是   。

例4.一个圆台的全面积等于 572π，两底面半径是 6 和 14，求这圆台的高。

【解】

【40】作圆台的轴截面（图3·40），

【41】则 O₁A＝6，OA＝14，A₁H⊥OA，并设 A₁H＝h，

【42】由圆台侧面积公式，得 π (6＋14) l＝572π，

【43】∴ l＝28.6  。

【44】在直角 △A₁HA 中，HA＝14－6＝8，A₁A＝28.6

【45】∴   。

答：圆台的高 h 约等于 27.5  。

习题3-7

1、一个圆台的上下两个底面半径分别为 r₁ 和 r，母线与底面的夹角是 60°，求这圆台的侧面积。【这圆台的侧面积为 2π(r²－r₁²)】

2、油漆 100 个倒圆台形的水桶外部的侧面和下底面，每个水桶的上下两底面的直径分别是 30cm 和 25cm，母线的长是 27.5cm  。已知每 1m² 的面积需 150 克油漆，问共需油漆多少？【约需油漆5599克】

3、打算用薄铁皮作一个锅炉上的圆台形的罩盖，尺寸如图所示（单位是米，Φ0.2 表示直径是 0.2 米），需要铁皮多少平方米（不考虑焊接处的损失）？【约需铁皮0.94平方米】

4、圆台的上下底面半径分别是 r 和 R，平行于底面的截面把圆台的侧面分成上下两部分，它们面积的比等于 p:q，求这截面的半径。

[提示：

如图，O₁A＝r，OB＝R，QP＝x，AH⊥OB，

又圆台被截分上下两部分侧面积之比为 p:q，

则有 p＝π (r＋x)·AP，

即   。    (1)

又 p＋q＝π (R＋r) AB，

即   。    (2)

今 △ANP∽△AHB，

则有   。    (3)

把(1)和(2)代入(3)，并化简便得  ]

5、一个圆台的两个底面半径分别是 1 和 3，它的侧面展开图是圆环的一部分，已知全圆环的面积和这圆台的全面积相等，求这圆台的母线之长。[提示：设母线长为 x，则部分环面积＝4πx，全环面积＝π(10＋4x)，因此 π(10＋4x):4πx＝360°:360°(3－1)/x，解这个方程，可求得 x＝1＋√6 ]

6、一个圆台的高是 8cm，两底面半径与母线长之比为 1:4:5，求这圆台的侧面积。【这圆台的侧面积等于50πcm²】

7、已知圆台的轴截面的面积为 F，母线与底面的夹角是 30°，求这圆台的侧面积。【这圆台的侧面积等于2πF】