去年简单唠了一下复变函数，今年咱们把积分变换介绍一下。
也就是标题的傅里叶变换以及拉普拉斯变换。
1.傅里叶展开
傅里叶变换可以由傅里叶展开引入。我们曾经研究过如何把一个函数展开成幂级数（泰勒展开）以及双边幂级数（洛朗展开）。它们都是把一个函数展开成一系列幂函数的和。
其实函数展开这事，我们还是可以用代数学的视角观察，这样你就能很自然地理解傅里叶展开了。
我们在线性方程组系列曾经提到：
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满足上面八大条的集合与运算构成的代数体系称为线性空间。
同样地，我们曾不只一次地说明了给定区间上的连续函数全体对函数的运算（加法和数乘）构成线性空间。而作为一个线性空间，它就应该有一组基，使得其中所有向量（即所有函数）都能用这组基线性表出。而我们前面研究的两种展开，其实就是取的1,x,x²,...这样的幂函数作为一组基。
显然，一个线性空间应该不只有这么一组基。傅里叶展开就是用的另外一组基（即1,cosx,cos2x,cos3x,...,sinx,sin2x,sin3x,...）。
注：以上基被称为三角函数列（三角函数系），傅里叶级数有时也被称为“三角级数”。
在线性方程组系列中我们提到，一组向量只有满足“线性空间中全部向量都能由其线性表出而且这组向量线性无关”这样两个条件才能被称为“基”。我们先来解决线性无关的问题。
要想证明一组向量线性无关有很多办法，但我们这里采用一个相对简单的办法——利用两两正交的向量组线性无关来证明。
既然要引入“正交”关系，那么势必要引入“内积”（也就是向量的点乘）这样的度量结构，从而把线性空间“升格”成欧几里得空间（这里的话是无限维线性空间，所以严格来说应该称为希尔伯特空间）。
在线性方程组系列里我们曾说道
满足上面四大条的定义在线性空间上的二元运算称为内积，而
内积的特例我们已经说过了。
引入这个内积结构就可以证明三角函数间的线性无关性了。（由于该部分非重点因此只说明思路）
再利用分析学的方法就可以证明非基向量的可被表出性了。
最终就得到了如下的傅里叶级数收敛定理。
当然，在这里如果f在[-π，π]连续，那么它的左极限就等于右极限，傅里叶级数就收敛于函数f本身了。
如果f的周期不是2π而是2l，则可以通过变量替换得到其三角级数展开。
红框是最后的展开系数
为了表示尊重，我手打一遍傅里叶展开的公式。
若是以T为周期(在本文，函数的右下角标T就是周期的意思)的连续函数，且在一个周期上按段光滑，则f的傅里叶级数在R上收敛于f。
也就是，
在这里，我做了一个变量替换认为待展开函数的周期。（在物理上，ω也被称为圆频率）
当然，在这里我还想做一个小变形，取
这样傅里叶展开公式就变成了
其中
,
(提交文稿的时候，b站竟然说专栏的公式有103个太多了，最多只支持100个，我只能忍痛把这里的合并了，看起来没那么舒服抱歉了qaq)
最后，我说一下为什么要变形。这是因为，在物理上（严格来说是信号领域），傅里叶展开的工作是把一个在时间上看（时域）是周期的信号，转化成了一系列频率不同的（频域）信号的和。而
就是每个信号的频率。
2.傅里叶级数的指数形式
在复变函数系列我们提到了，在正余弦函数可以用指数函数表示，因此就有了傅里叶级数的指数形式。只需要利用复变三角函数的定义直接代入即可。
稍微整理一下就可以得到傅里叶展开的指数形式了。
也就是
在这里，我们可以把两个指数函数的指数部分合二为一，即认为n从-∞到+∞，再把系数合并成cn，从而得到傅里叶展开的指数形式。
另外，原本的求和号里是没有e的0次方的，但是我们可以把a0/2合并进去。
所以傅里叶展开的指数形式非常简单就是
其中，
（只需要把三角形式的傅里叶系数代入并用欧拉公式整理就可以得到了）
3.非周期函数的傅里叶展开
以上的解释对周期函数来说非常完美，但是对于非周期函数就麻烦了。
三角函数本身具有周期性因此非周期函数似乎没有办法展开成这样的周期函数的和。其实不然。
一般地我们有两种方案，第一种是我们强行延拓非周期函数为周期函数即我们认为定义在[a,b]上的函数是一个周期为b-a的周期函数而[a,b]是它的一个周期（或者其他延拓方法，反正你给他变成周期函数就行）。
这种方法是对函数做了一些妥协，其实也不失为一种好方法，但面对定义在全体实数R上的函数来说就没有办法使用了。
其实我们还有一种方法就是认为函数的周期的无穷大。
显然，这就涉及到极限了。为了方便起见，我们当然是先用简洁的指数形式进行计算啦。另外，什么一致收敛啊乱七八糟的证明也不说了，不然你该看傻了。
我们的思路是，认为非周期函数f(t)的周期是无穷大，也就是
所以我们的目标就是求出最右边的极限喽。
但是在这里，注意看有点混乱。式子的右边同时出现了周期T和频率ω，显然我们应该利用公式把周期转化为频率从而统一。因此，
在这里，1/2π是数可以提到求和以及极限号前面，关于s的积分本质上也是数但是我们先不动。
在函数f(t)的圆频率ω也可以做一点文章。
前面我们说,因此
所以我们把常数提出去ω换成△ω，则f(t)也可以表示为
注意，关于s的积分本质上是一个数，因此
整个部分都可以看做是一个关于ω_n的函数F(ω_n)。
也就是
但是你要注意，在这里T→+∞，所以实际上
这样的话，注意，上面是式子已经变成了F(ω_n)的一个黎曼和，上述式子是F(ω_n)黎曼积分的定义式！你或许看得并不是很清楚，没关系我先把结果写出来，等下你按定义还原回去就行了。
结果是。
你或许还没理解，所以我把这个结果再用黎曼积分的定义转化为黎曼和给你看看。
你看哈，
这个是黎曼积分的定义。
原本我们推得，
做了一个变量替换
所以实际上原式就是
与此同时我们有
这样的黎曼积分的极限表述。
常数不用管，我们是提到积分号外面去的。
△ω_n就是分割的细度||T||,△ω_n同时也是分割的长度△x_i,ω_n则是每一个分割的一个点的值，这恰好就是黎曼积分的极限表述。
在本小节的最后小结一下。
在本小节我们发现，R上的非周期函数f(t)可以表示为
其中，
一般说来，函数的自变量以及积分的积分变量用什么字母表示是无所谓的，所以我们一般写成
(提交文稿的时候，b站竟然说专栏的公式有103个太多了，最多只支持100个，我只能忍痛把这里的合并了，看起来没那么舒服抱歉了qaq)
最后，还需要补上一些条件使得等式成立。这样就得到了傅里叶积分定理：
定义在R上的函数如果满足，
第一，f(t)在任一有限区间都连续或只有有限个第一类间断点
第二，f(t)只有有限个极值点
第三，f(t)在(-∞，+∞)上绝对可积（即收敛）
则它可以表示为积分的形式
其中，
或者说把下面的式子直接代入写成一个公式就是，
这个形式和周期函数的傅里叶展开非常类似。（啊，实际上就是一个东西嘿嘿）
利用欧拉公式你就能把指数形式转化为三角形式了，方法和前面三角形式转指数形式类似，只不过是反过来了而已。
在这个最后的单个公式里，对最内层的积分来说，积分号外面的e的iωt次方是常数可以放到里面去进行合并，得到
这样就变成了一个累次积分，不过累次积分我们一般喜欢这样写
根据欧拉公式我们有
所以就有
这个又臭又长是公式。。。。就是三角形式了。
当然，如果f(t)是奇函数或者偶函数的话，那么上式会少一项。(我们已经已知无穷限积分收敛了，所以可以用偶倍奇零化简的哦）
4.傅里叶变换及其逆变换
上一节内容很多，但是其实真正的重点只有两个式子也就是：
(提交文稿的时候，b站竟然说专栏的公式有103个太多了，最多只支持100个，我只能忍痛把这里的合并了，看起来没那么舒服抱歉了qaq)
其实这就是傅里叶变换的公式了。
下面的公式就是傅里叶变换的公式，它把函数f(t)变换成了F(ω)。
它可以记作。
上面的公式就是傅里叶逆变换，它把F(ω)变换回了f(t)。
它可以记作。
物理意义的话，还是什么频域时域之类的。我再加一个应用吧，当我有一个声波的时候，它其实很大概率是非周期的，我可以用傅里叶变换把它变成无限个频率连续的声波，然后我们可以消除高频的那些声波，再用傅里叶逆变换变换回去，这样就可以达到消除声音中的高频部分的目的了。
5.傅里叶变换的性质
介绍一些基本的，简单的性质。这些性质的证明都是十分简洁明了或十分复杂的啊哈哈哈，如果你实在不会可以自行百度。
线性性质
位移性质
微分性质
如果f(t)在R上连续或只有有限个可去间断点（注意跳跃间断点不行，因为这样的点不可微），当t→∞时，f(t)→0,则
诶嘿，这是导函数的傅里叶变换求法。
前面两个性质是直接用定义得到的，这个需要分部积分，你其实可以自己试试。
如果我们把f的n阶导看做是f的n-1阶导的导数(注意，这里发生了递推)，那么就可以得到如果是n阶导的傅里叶变换只需要把iω变成(iω)的n次方就可以了。
积分性质
如果你把f的n-1阶导看做是f的n阶导的积分，那么不就得到积分性质了？
在这里要求
就有，
傅里叶变换还有其他的性质，比如说乘积定理、卷积定理什么的，这个看情况吧，我可能不会更。。。。反正自己去搜搜看也可以的。
到这里已经三千字了，我得赶紧介绍拉普拉斯变换了。
6.拉普拉斯变换
拉普拉斯变换可以看做是傅里叶变换的改良，它是为了解决傅里叶变换的两个问题产生了。
首先是，傅里叶变换的积分式容易不收敛。
其次是，傅里叶变换需要f(t)定义在全体实数域上，然而生产实践时人们发现很多问题f(t)只定义在t>0的部分。
为此，拉普拉斯变换孕育而生。
它最主要的思想是改造f(t)使得它能够进行傅里叶变换。
对于第一个问题，可以乘一个使之收敛。
对于第二个问题，直接乘以阶跃函数u(t)（自变量小于0时为0，自变量大于0时为1）即可。(或者你也可以认为是我们延拓f(t)的＜0部分为0)
在我们给定β的情况下，我们就可以对改造后的f(t)进行傅里叶变换了。
乘了阶跃函数之后负无穷到0的积分就是0了，此外我们还可以把e指数合并为一个复数s。
这样就有
事实上这就是拉普拉斯变换了。
对定义在(0,+∞)的函数f(t)，若积分（s为复数）在复平面上收敛，则称
为拉普拉斯变换，记作
在这里你也可以看出来，拉普拉斯变换是一种特殊的改良的傅里叶变换，所以它的逆变换也可以由傅里叶逆变换得来。
看拉普拉斯变换得来的式子，
在后一个等式两边施加傅里叶逆变换就可以得到,
注意，在拉普拉斯变换时我们要求f(t)只在0到+∞有定义，所以上式实际上就是
因此，拉普拉斯变换的原函数
接着再用傅里叶逆变换公式展开即可，
这虽然是累次积分式子，但是最里面的积分乘了阶跃函数因此只有大于零的部分积分才不为0，另外我们可以把e指数整理一下变成
你再观察一下里面的积分和我们推导拉普拉斯变换的最终结果
注意哈，就是我们这里的s，我们只是做了一个换元让形式更简洁而已。
发现了吧，这个累次积分最里面的积分就是f(t)经过拉普拉斯变换的像函数L(s)
所以就有
然后我们再整理一下e指数就有
然后再换元，令就有
然后呢，我们再把dω换成ds就可以得到拉普拉斯逆变换了。
因为，所以
(注意，β是常数，微分是0)
换了微分，还需要同时换限这样就得到：
因此，最后的结论是：
拉普拉斯变换
拉普拉斯逆变换
7.拉普拉斯变换的性质
根据前面的讨论我们发现，拉普拉斯变换是特殊的傅里叶变换所以它应该具有傅里叶变换的性质。
线性性质
这部分一模一样。
位移性质
拉普拉斯变换的位移性质也有一点点小区别。
主要是符号反了一下，这个特别要小心。
微分性质
微分性质有所不同。
证明的话同样是用到了分部积分法。
积分性质
拉普拉斯变换的积分性质比较简洁。
拉普拉斯变换同样还有一些没说的，比如说初值和终值定理，这个也靠自己查阅吧。
好了，这期先这样。我其实是挖了个坑，这期介绍的性质都是解微分方程需要用到的，看我有没有空把坑填了吧啊哈哈。
关于这两个变换，其实还有很深层次的含义，最好还是去看看其他大佬的介绍。比如说3b1b之类的，它们很深入很底层，我这儿太简单潦草了。
