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【种花家务·代数】3-8-04指数和对数方程组『数理化自学丛书6677版』
山嵓
2024年05月28日 20:41
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【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第八章指数方程和对数方程

§8-4指数和对数方程组

【01】利用解代数方程组的知识，我们可以解由指数方程和对数方程所组成的方程组。下面举几个简单的例子来说明这种方程组的解法。

例1.解方程组：

%5Csmall%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7B2%5E%7Bx%7D%3D8%5E%7By%2B1%7D%2C%7D%26%26%7B(1)%7D%5C%5C%7B9%5E%7By%7D%3D3%5E%7Bx-9%7D.%7D%26%26%7B(2)%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

【解】

从(1)得 %5Csmall%202%5Ex%3D2%5E%7B3(y%2B1)%7D，∴ x＝3(y＋1)  。

从(2)得 %5Csmall%203%5E%7B2y%7D%3D3%5E%7Bx-9%7D，∴ 2y＝x－9  。

这样，我们就得到了一个二元一次方程组

%5Csmall%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx-3y%3D3%2C%5C%5Cx-2y%3D9.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

解这个方程组得

%5Csmall%20%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D21%2C%5C%5Cy%3D6.%5Cend%7Bcases%7D

这就是原方程组的解。

例2.解方程组：

%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Clg%20x%2B%5Clg%20y%3D%5Clg11%2B%5Clg9%2C%26(1)%5C%5C%5Clg(x%2By)-%5Clg(x-y)%3D1.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D

【解】

从(1)知方程组有解的条件是 x＞0，y＞0  。

在这种条件下，从(1)得

lg xy＝lg 99，

∴ y＝99  。

从(2)知方程组有解的条件是 x＋y＞0，x－y＞0  。

在这种条件下，从(2)得

%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%5Clg%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7Bx-y%7D%3D%5Clg10%2C%5C%5C%5Ctherefore%5C%3B%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7Bx-y%7D%3D10.%5Cend%7Baligned%7D

就是 9x＝11y  。

这样就得到了一个二元二次方程组

%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7Bxy%3D99%2C%7D%5C%5C%7B9x%3D11y.%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.

解这个方程组得

%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Dx_%7B1%7D%3D11%2C%5C%5Cy_%7B1%7D%3D9%2C%5Cend%7Bcases%7D%5Cbegin%7Bcases%7Dx_%7B2%7D%3D-11%2C%5C%5Cy_%7B2%7D%3D-9.%5Cend%7Bcases%7D

因为 x 和 y 都不能是负数，所以第二组解应该舍去。以 x＝11，y＝9 代入原方程组检验，知道它们适合原方程组里的两个方程，所以是原方程组的解。

【注】当 x＝11，y＝9 时，x＋y 和 x－y 的值都大于零，根据这一点，可知 x＝11，y＝9 同时满足方程组中两个方程所需要的条件，从而可确定这一组解是原方程的解。

例3.解方程组：

%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Dx%5E%7B%5Clg%20y%7D%3D100%2C%26(1)%5C%5C%5Clg%20x%2B%5Clg%20y%3D3.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D

【解】

从方程(1)知道方程组有解的条件是 x＞0，y＞0  。

在这样的条件下，两边取常用对数得 lg y lg x＝2  。

原方程组可以变形成

%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Clg%20y%5Clg%20x%3D2%2C%26%26(3)%5C%5C%5Clg%20x%2B%5Clg%20y%3D3.%26%26(4)%5Cend%7Bcases%7D

令 lg x＝u，lg y＝v，得到

%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Du%2Bv%3D3%2C%5C%5Cuv%3D2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

解这个方程组得

%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bu_%7B1%7D%3D2%2C%7D%5C%5C%7Bv_%7B1%7D%3D1%2C%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%3B%5Ctext%7B%E5%92%8C%7D%5C%3B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bu_%7B2%7D%3D1%2C%7D%5C%5C%7Bv_%7B2%7D%3D2.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

从 u₁，v₁ 得

%5Csmall%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7B%5Clg%20x%3D2%2C%7D%5C%5C%7B%5Clg%20y%3D1.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Ctherefore%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3D100%2C%7D%5C%5C%7By%3D10.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

从 u₂，v₂ 得

%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7B%5Clg%20x%3D1%2C%7D%5C%5C%7B%5Clg%20y%3D2.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Ctherefore%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3D10%2C%7D%5C%5C%7By%3D100.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

检验后，知道这两组解都适合原方程组。

习题8-4

解下列各方程组：

%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A1.%26(1)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D9%5E%7Bx%2By%7D%3D729%2C%5C%5C3%5E%7Bx-y-1%7D%3D1%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%26(2)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Clg%20x%2B%5Clg%20y%3D5%2C%5C%5C%5Clg%20x-%5Clg%20y%3D3%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26(3)%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7Bx-y%3D90%2C%7D%5C%5C%7B%5Clg%20x%2B%5Clg%20y%3D3%3B%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5C%26(4)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7Bx%2By%3D5%2C%7D%5C%5C%7B9%5Ccdot3%5E%7B2x%2By%7D-3%5E%7Bx-2y%7D%3D0.%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%20%20%20%5C%5C%0A2.%26(1)%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D2%5Ex%5Ccdot3%5Ey%3D324%2C%5C%5C3%5Ex%5Ccdot2%5Ey%3D144%3B%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5C%26(2)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D2%5Ex-2%5Ey%3D24%2C%5C%5C2%5E%7Bx-1%7D%2B2%5E%7By-1%7D%3D20.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%20%20%5C%5C%0A3.%26(1)%20%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Clg%20x%2B%5Clg%20y%3D3%2C%5C%5C%26%5Clg(x%2B90y)-%5Clg%20x%3D1%3B%5Cend%7Baligned%7D%20%5Cright.%20%5C%5C%0A%26(2)%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Clg%20x%2B%5Clg%20y%3D%5Clg143%2C%5C%5C%5Clg(x%2By)%3D%5Clg(x-y)%2B%5Clg12%2C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5Cend%7Baligned%7D

【1.(1)2，1，(2)10000，10，(3)100，10，(4)17/2，－7/2；2.(1)2，4，(2)5，3；3.(1)100，10，(2)13，11 】

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