经济学家最害怕的是什么？放宽基本假定的回归模型（上篇：异方差）丨《计量经济学》第4章1节
#文案（逐字稿）
一、引言
经典多元线性回归模型有许多非常理想的假设，例如零均值、同方差、序列无关等——这些假设保证了数据分析的准确性：
然而，现实中的影响因素往往是错综复杂的；任何一点细节的疏漏都有可能造成预测的失效——这其中最令实证经济学家们头大的，莫过于三种现象：
异方差（Heteroscedasticity）
序列相关（Sequence Correlation）
多重共线性（Multi Collinearity）
众所周知，方差是衡量随机变量离散程度的统计指标；稳定的方差可以确保估计量的有效性：
但如果数据的离散程度并不均匀，预测区间就会变得忽大忽小；模型的精度也就不可信了：
二、G-Q检验
针对异方差的诊断方法有许多，其中最早出现的就是“G-Q检验”——它由经济学家
Goldfeld（戈德菲尔德）
和
Quandt（匡特）
于1965年提出。“G-Q检验”会将排序好的样本切成三份儿，扔掉中间的大约c=n/4个观测值；然后对左右两侧分别做回归、计算它们各自的残差平方和并用大的除以小的，就可以构造出一个F分布了：
虽然“G-Q检验”很方便，但它只能应付递增或递减形式的方差；如果方差长这样儿，“G-Q检验”就傻眼了：
三、P-G检验
亖年后，
Park（帕克）
与
Gleiser（戈里瑟）
提出了新的“P-G检验”——他们把残差绝对值作为因变量，检验其是否与解释变量之间相关：
如果存在某种函数形式使方程显著成立，异方差的具体形式就找到了：
大伙儿应该也都感觉出来了：“P-G检验”就是这样一种连蒙带猜的碰运气手段——因为函数的具体形式并不确定，所以往往需要反复实验无数次×
亖、White检验
面对“P-G检验”的繁琐，
White（怀特）
在1980年提出了更为一般的检验方法：“怀特检验”——他直接把所有可能的函数形式，无论一次项、平方项还是交叉乘积项全扔一个式子里去做辅助回归：
只要这些系数α里有一个显著地不等于零，就可以认为存在该形式的异方差；而检验其是否显著的方法，通过辅助回归的可决系数R2构造以解释变量个数k为自由度的卡方分布、然后查表看有没有超过临界值就行了：
五、对数化
说了那么多检验形式的方法，异方差问题到底要如何解决呢？最简单的方法就是对模型两侧同时取自然对数，这样就可以将数值之间原本十倍的差异缩小到两倍了；此外，对数变换后的参数β1刚好可以表示Y对X的弹性：
只不过，对数化的模型反映的就不再是变量间的线性相关关系了×
六、WLS
一种更精妙的方法是“加权最小二乘法（Weighted Least Squares）”，也就是通过给大残差乘小权重、小残差乘大权重来让方差均匀化√
具体要怎么操作呢？
根据前文的“P-G检验”可知，随机扰动项μi的异方差与解释变量Xi有关：
我们可以让函数f(Xi)乘以一个常系数σ²——当随机扰动项与解释变量无关、即函数等于一时，这个常数就是方差。现在，最精彩的部分来了——让我们把原回归方程中的每一项都除以根号儿下f(Xi)：
然后把除好的随机扰动项把打包成一个整体vi，这个整体就是同方差的：
总督我当年学到这儿的时候人都傻了！凭什么这个vi就是同方差了呢？别急，咱现场就能给它证明出来：
对打包好的vi求方差，本质上就是对μi除以根号儿下f(Xi)这个整体求方差。根据概率论中的运算法则，将与所求量无关的分母提出方差时需要平方——这也就是咱们给它加根号儿的原因，就是为了在这一步对冲掉。还记得“P-G检验”里的那个异方差表达式吗？把它代入算式，直接就给f(Xi)消掉了；那vi的方差里不就剩下个不变的常数σ²了吗？这就是同方差了啊！
而且无论函数f(Xi)是什么形式，这条规律都恒成立：
美，太美了～
七、GLS
不过到这儿还不算完——更令人拍案叫绝的，是接下来的“广义最小二乘法（Generalized Least Squares）”：
首先将随机扰动项序列排成向量，让它与自己的转置相乘、得到协方差矩阵；然后对这个矩阵求期望——根据线性代数中的运算法则，把这一步分配给矩阵中的每一个元素，也就得到了所有随机扰动项彼此之间的协方差——其中对角线上排布的是每个随机扰动项与自己的协方差，也就是它的方差。把这个协方差矩阵打包成常数σ2乘以n阶实对称矩阵Ω——如果Ω为单位阵I，则实现了同方差：
而如果不等，根据实对称矩阵的性质，也可以找到一个n阶非奇异矩阵P，使得Ω在有限次可逆的线性变换下转化为单位阵I：
用P左乘原方程中的每一项：
再把它们打包起来：
得到的就是同方差的回归模型了：
此时参数估计量表现为如下形式：
八、尾声
本期视频中介绍了计量经济学三座大山之一——异方差的检验与补救；在明、后两天的更新中，我们将继续探讨另外两个问题：序列相关与多重共线性√
——@原力总督（FORCE_VICEROY）
写作日期：2K24-03-22
拍摄日期：2K24-04-23
发布日期：2K24-05-17
18:00
#借物表
参考文献
廖明球, 李雪. 计量经济学简明教程[M]. 北京：首都经济贸易大学出版社, 2018(3): 92-110.
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