第3章  扭转

3.1  复习笔记

扭转是杆件的基本变形之一，它是由大小相等，方向相反，作用线都垂直于杆轴的两个力偶引起的，表现为杆件的任意两个截面发生绕轴线的相对转动。

一、外力偶矩的计算和扭矩及扭矩图

1. 外力偶矩的计算公式

式中，P为轴的输入功率；n为转速。

2. 扭矩T

（1）扭矩计算

利用截面法，根据静平衡条件求得。

（2）符号规定

若按右手螺旋法把T表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，T为正；反之为负。

3. 扭矩图

表示各截面上扭矩沿轴线变化情况的图线，即用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩。

提示：正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。

2.切应力互等定理

单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

3 . 剪切胡克定律

（1）纯剪切

若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。

（2）切应变

对于长为1的圆筒，两端相对扭转角为φ，则切应变γ=rφ/1。

（3）剪切胡克定律

当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比，即τ=Gy，其中，G为材料的切变模量。

三、圆轴扭转时的应力和变形

1 . 圆轴扭转时的应力

（1）应力计算公式

推导圆轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。

①变形几何关系：圆轴扭转的平面假设；

②物理关系：剪切胡克定律；

③静力关系：横截面上的内力系对圆心的力矩合成为扭矩。

五、非圆截面杆扭转的概念

1 基本概念

（1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。

（2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。

变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切应力。

（3）约束扭转：由于受力或约束条件限制导致翘曲受限的扭转。

变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截面上有切应力和正应力。

六、薄壁杆件的自由扭转（选学内容，不做要求）

（1）薄壁杆件：壁厚远小于横截面的高、宽或平均半径的杆件。壁厚中线：薄壁杆件横截面壁厚的平分线。

（2）开口薄壁杆件的自由扭转

开口薄壁杆件：壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线。

假设前提：自由扭转时横截面在变形过程中只作自身平面内的刚体平动。整个横截的转角与截面上各部分（视为狭长矩形）的扭转角相等。

最大切应力发生在宽度最大的狭长矩形长边上，切应力与截面边缘相切形成顺流，同一厚度线的两端切应力方向相反，最大切应力为

3.2 课后习题详解