对于一个一阶闭环控制系统，系统控制框图如下图所示：

一阶闭环控制系统

其中为参考值；为误差；为控制器；为控制量，同时也是一阶系统的输入，是一阶系统的输出。

设参考值是一个常数，故。

首先假设是一个比例控制器，即，可得：

，，由于

故：

即：，对进行拉普拉斯反变换可得：

输出响应曲线

稳态误差，故当比例增益越大，稳态误差就越小，当比例增益趋向于无穷大时，稳态误差趋向于0。但在现实情况下，比例增益是绝对无法趋近于无穷大的，因此单纯使用比例控制器是无法消除稳态误差的。

接下来分析这个一阶闭环控制系统的动态性能：

由可知，因此该系统是一个一阶系统。

系统的时间常数

系统的调节时间。

因此比例增益越大，系统的响应速度越快。

接下来利用另一种方法（终值定理）来分析系统的稳态误差：

由于，由终值定理可知：

，与利用拉普拉斯反变换得到的结果是一样的，但是求解过程也相对更加简单，也为后续设计控制器消除稳态误差提供思路。

既然比例控制器无法消除稳态误差，那么接下来的任务是如何设计控制器，进而消除稳态误差。

依然假设参考值是一个常数，。

，，，可得：

根据终值定理：

由上式可知，为了使为了使稳态误差趋近于0，则必须要使，因此可以令。

由于，拉普拉斯反变换的结果为，因此被称为积分控制器，被称为积分增益。

将带入到中可得：

，经过拉普拉斯反变换可得：

，其中是系统的输入。

由上式可知，引入积分控制器后会把系统从一阶变为二阶，根据系统的二阶运动微分方程可知：

系统的固有频率：

系统的阻尼比：

根据阻尼比和固有频率可以计算这个闭环控制系统的性能：

上升时间，其中

超调量

因此积分增益增大会导致上升时间减小，从而加快系统的响应速度，但同时也会导致系统的超调量增加。

在实际的应用过程中通常把比例和积分控制器组合起来使用，利用比例控制器加快系统的响应时间，利用积分控制器消除稳态误差。

*本文内容主要来源于《控制之美》以及个人对该书的阅读体会，如有侵权，请联系删除。另外，本文介绍了终值定理、PI控制器的原理以及控制器的设计思路，后续我打算学习现代控制理论、智能优化算法与多无人机路径规划的相关内容，希望能和志同道合的小伙伴一起交流。

坐中静，破焦虑之贼；舍中得，破欲望之贼；事上练，破犹豫之贼。三贼皆破，万事皆成。

                                                                                                                       ——王阳明