一、力矩

力：改变质点的运动状态，质点获得加速度.

力矩：改变刚体的转动状态，刚体获得角加速度.

1. 力在垂直于轴的平面内

力臂：力的作用线到轴的垂直距离.

力矩：，沿轴方向.

力在垂直于轴的平面内

2. 力不在垂直于轴的平面内

把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

与轴平行，力矩方向与轴垂直，在轴方向的分量为零. 所以对轴的力矩为

，

力不在垂直于轴的平面内

3. 作用力和反作用力的力矩

刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

4. 刚体关于定轴的合力矩

对如下图所示的三个力

刚体关于定轴的合力矩

二、转动定律

1. 单个质元与转动轴刚性连接

单个质元的力矩

2. 刚体

质量元受外力和内力，其力矩为内力矩和外力矩之和

则刚体的力矩为

由于内力为一对对相互作用力，内力力矩，即

或简写为

这便是转动定律，其中为转动惯量.

刚体力矩

提问：在下图所示的表演中，为什么需要很长的竿子？

解答：根据刚体转动定律，竿子越长，转动惯量越大，越难发生转动，也就是顶部人员越安全. 

顶杆表演

注：转动中转动定律与平动中牛顿定律地位相同，分别反映力矩与力对物体运动状态的改变. 物体的质量反映质点的平动惯性，转动惯量反映刚体的转动惯性.

三、转动惯量

1. 转动惯量

对于质点系，其转动惯量可以写为

对于质量连续分布的刚体，其转动惯量可以写为

（该表达式为计算刚体转动惯量的出发点）

2. 影响转动惯量的因素

①总质量

细杆绕端点转动的转动惯量

从上式可以看出，总质量越大，转动惯量越大.

细杆绕端点转动

②质量分布

圆环绕过圆心的轴转动的转动惯量

从上式可以看出，当总质量一定时，越大，转动惯量越大.

圆环绕过圆心的轴转动

圆盘绕过圆心的轴转动的转动惯量

③转轴的位置

细杆绕中心转动的转动惯量

从上式可以看出，当转轴不同时，转动惯量也不同.

转轴位置的影响

不同转轴之间转动惯量的转换：平行轴定理

其中为绕质心轴转动的转动惯量，为绕距离质心为的转轴转动的转动惯量，为总质量.

注：除平行轴定理外，还有垂直轴定理. 大学物理不需要掌握.

3. 其它物体的转动惯量

①厚度为h的圆柱转动的转动惯量

，与圆盘相同

②宽度为a的薄圆环转动的转动惯量

，与圆环相同

③球体绕过球心转轴的转动惯量

圆柱、薄圆环与球体

注：计算球体绕过球心转轴的转动惯量的时候，如果你的计算结果是，你应当计算过程中以球壳为质元. 这样计算出的应该是绕球心这一点转动的转动惯量，而不是绕过球心的轴的转动惯量.