前言

本题是一个比较困难的题目，没做出来也请不要灰心！叶佬也表示他被这题卡住过呢。建议先学习反演内容，包括轴反射反演等。建议观看纯几何吧等角共轭专题中对其的介绍。因为这题大多是通过反演完成的。当然，也存在不反演的做法。

正文

第十六题、如图,A、B、C为⊙O上三点,D为△OBC的外接圆⊙P上一点,过A作⊙O 切线分别交⊙P于M、N,DM、DN分别交BC于E、F,作△DEF的外接圆⊙Q,证明:⊙O与⊙Q相切。

条件简洁，结论美观。从题设中不能得到可以直接结合的性质，在我经过一番观察原题的图形后也未找到合适的方法定义切点。

对于一般的两圆相切题目我们采用以下步骤:在其中一个圆上定义切点，证明这样定义的切点在另一个圆上，最后证明两圆相切。

注意到基本型之间存在位似关系，故产生了以下思路

设⊙(DEF)与⊙(DMN)交于S。点T如图所示，并未定义，暂时只用于观察。设DT再次交⊙(DMN)于G，观察到GS、AS为∠MAS的等角线。只要图补出来了，这步观察并不困难。连DT的原因是想通过对点G进行变换来定义切点T，所以我们希望发现G具有的性质。下一个段落讲述了这个变换。

设SG为SA关于∠MSN的等角线。

定义旋转位似变换，其三个参数为:

旋转中心S，旋转角∠MSE，位似比MS/ES

则M→E，N→F，设K←A，G→T，由相似变换的保形性，可知EKF共线，SETF共圆，△SKF∽△SAN∽(由等角线)△SMG，同理△SET∽△SAN。如果熟悉轴反射反演变换的使用条件，此时思路便明朗了起来。轴反射的使用条件即图中存在大量共边顺相似三角形。要注意区别于旋转位似变换！

定义轴反射反演变换，其三个参数为:

反演中心S，反演幂SG*SK，反射轴∠GSK的角平分线

则M↔F，E↔N，G↔K，A↔T，

EF↔⊙(SMN)，⊙(BAC)↔⊙(CBT)，MN↔⊙(SEF) => B↔C，

而O为弧BC中点，故SO即此变换的反射轴，

由圆幂定理知⊙(BAC)=⊙(BTC)，即说明T在⊙(BAC)上。由反演保角性，通过MN与⊙(ABC)相切可知⊙(AMN)与⊙(BCT)相切，得证。

总结

先谈谈我的做法。点G是由于需要构造切点引入的，点K是由变换引入的，实际上真正发挥作用的只有点G，点K在写过程时完全可以删去，引入K仅仅是方便观察。我认为我的思路是清晰的，比较困难的一步是观察等角线。

再说说题。十分优雅的一道难题，虽然我的方法实际上只引入了三个点，但思维难度不低。这道题也有常规反演的作法，但是图要难看一点。

这道题的解答应该是我最满意的一个了！