1.二元函数可微的两种定义

2.二元可微的必要条件一（两个偏导数存在）

3.二元可微充分条件（两个偏导数连续）

4.二元可微必要条件二（各个方向方向导数都存在）

注释：方向导数是单侧极限 任意方向的方向导数存在推不出偏导数存在

上图一个重要反例 方向导数计算用到了分母有理化

5.方向导数和梯度向量（函数上升最快的方向）

连续也不一定单侧可导的例子修正一下

6.为什么fyx＝fxy 两个累次极限都存在但不相等的反例子（x+y/x-y）x ，y趋向于正无穷 倒代还趋向于0

预处理利用累次极限迭代写出两个的表达式

由上述分析 累次极限内的东西是一样的 下面只需证明这个累次极限的结果与delta x和 delta y趋向于0的次序无关即可

第二部 ，利用拉格朗日中值定理计算这个累次极限

（上图是一个错误的处理方式）

下面来看正解 封装函数和变量 同一中值克塞

用好fxy和fyx在这一点x0 y0连续性这个条件

因为连续 所以可以用拉格朗日中值

因为连续所以以任何方式逼近x0 y0的结果都一样都等于函数值 累次极限也是一种趋近方式 两个累次极限次序不同趋近方式不同 但是由于连续他们值都＝fxy（x0 ，y0）

实际上由第一张图我们的证明可以发现 貌似只需要单个混合偏导数连续 如fxy在该点连续则fyx（x0，y0）存在且值与fxy（x0，y0）想等

终极结论 更加严谨的证明（本质与上文一样）

我们说一下为何要f关于y偏导存在 因为偏导存在 才可用导数定义进一步转化为一个累次极限 也就是第一张图的一些步骤 因为fxy连续这个条件并不能保证fy存在 fy存在又是可用导数定义求fyx的前提 能用导数定义就行

再说下为啥要fy在邻域内存在 因为用导数定义中涉及到fy（x0+deltax，y0）-fy（x0，y0）这一部分如果只有fy（x0，y0）

著名错解（随意交换累次极限顺序）存在是不够的（✓）

关于方向导数的一些易错点

一，该点沿任意方向方向导数都存在能说明函数在该点连续吗？

我们知道一元函数f（x）右可导则右连续 左可导则左连续 单侧极限可以说明一侧连续 那以此类推二元方向导数也是单侧导数 处处单侧导数都存在能否说明沿任意路径都连续呢？

实际上方向导数是说某个角度的 也就是沿线性方向逼近这一点 只能说明360度线性方向上都连续 能否说明处处连续呢？非线性方向也连续呢 实际上不一定

我们弱化一下问题 沿线性方向二重极限处处存在能否说明其他方向这个二重极限也存在呢？我们找到了一个反例

二，方向导数和偏导数都存在

方向导数一定能写成fxcos+fysin的形式吗？

答：不一定还要求在该点可微

三，补充一下可微的另一个更强的充分条件

证明例子

一个偏导数连续其实是为了保证第三行计算过程中两边都有△x △y时候能够实现（利用偏导数连续性）