装备强化问题是一个广泛讨论的问题，这里记录一道我看到的装备强化问题。用以记录该类问题的解决办法。本文没有使用马尔可夫链解决问题，因为我并不很擅长。本文会先用逻辑清晰但较为繁琐的思路推理，最后总结简单的通用办法。再然后利用程序统计模拟，验证结果。

    问题描述：每强化一次装备需要12个道具A。初始强化等级为1级，其强化成功率和失败的惩罚如下图，请问强化到9级，平均需要多少个道具A。

强化详情

    分析问题，首先强化到9级，可以拆分成从1级逐步强化到9级，最终强化到9级的期望次数等于逐级强化的期望次数之和。

    首先强化到2，3，4级很简单，强化必然成功，所以强化失败的回归等级其实没有意义。因此这三次强化的期望消耗均为12。

    强化到5，6级，强化概率不再是100%，但是失败后会保留原本等级，不会回退。所以可以看作独立重复实验。期望次数可以用1除以概率即可。

    强化到7级，这里就值得注意了，上面的简单方法不再适用。此时，可以从数学期望的公式入手。

    强化到7的成功率为70%，失败率为30%，强化失败将从6级退回到5级，而从5级再度回到6级的状态，平均需要消耗15个道具，此时再度花费12，重新进行6-7的升级强化，也就是说，每次重新回到6级，再进行一次升7的强化都平均需要花费15+12=27个道具。

    下面分别介绍两种方法。首先第一种继续刚才的思路。

    因此，由强化到7级的分布列，可以得到其消耗的期望公式的形式如下。

    而将上式子进行整理，可以拆分成两个求和；其期望和求和的关系如下。

    等差数列和等比数列的乘积，使用错位相减求解即可，求解过程繁琐，此处不详细写明，结果为。

    最终，我们求得了结果。这是一种思路比较清晰的做法，求算每个随机变量对应的概率，最终使用期望公式计算，但计算过程过于繁琐，在实际工作中，也不容易在excel中创建公式。

    那么接下来尝试用第二种思路，逻辑的思路。

    事实上，无论是哪一次强化，行为都是可以被公式化的，即是：首先支付一次本等级强化到下一等级的费用（本题目中均为12），然后如果强化失败回退，无论是回退到几级，都一定可以求算一个从回退等级强化到当前等级的消耗期望，把这一部分看作一个整体。即每次强化失败，都要加“消耗期望”的金额。举例来说。比如6～7的升级。

1. 首先必定支付12个道具，如果成功，则不继续；如果失败，继续2步骤。

2. 失败一次的概率是30%，如果失败，继续支付27个道具。

3. 如果两次失败，概率就是30%*30%，在上一步骤基础上，继续追加27个道具重新执行6-7的升级。

4. .....以此类推，直到强化成功，不再追加资源。

    其资源计算可以用下公式表达：

    直接对后面部分用等比数列的求和公式，即可得到和上面相同的结果。

    而将这种计算方式推广到任意情况，只要计算好，退回等级和当前等级之间的消耗，就可以采用上方的公式，进行求算，当退回等级等于如今等级，返回状态的消耗即为0，等比数列的求和公式直接替换0.3为当前等级强化的失败几率即可。推广到了一般以后，就可以利用excel键入公式拉表解决问题。（推广过程书写繁琐，可以直接查看下面的excel公式理解。）

    强化结果：

强化结果

    相对位置

相对位置

单元格p4公式参考

    将上面的问题，利用代码，书写循环体，统计十万次求平均值，蒙特卡洛模拟得到结果验证上面的结论。展示代码如下：

import random
import numpy as np
data={1:[1,1,12],
      2:[1,2,12],
      3:[1,3,12],
      4:[0.9,4,12],
      5:[0.8,5,12],
      6:[0.7,5,12],
      7:[0.6,1,12],
      8:[0.5,1,12]}#创建字典，用于储存装备状态。
def intensify(data,start_cost,goal_level,start_level):
    cost=start_cost
    level=start_level
    while level<goal_level:
        temp_prob=random.random()
        cost+=data[level][2]
        if temp_prob<data[level][0]:
            level+=1
        else:
            level=data[level][1]
    return cost#构建函数以某等级强化到某等级所需资源
result_list=[]#创建空列表用于储存每单次强化资源需求。
for i in range(100000):#循环模拟多次，求期望值
    temp=intensify(data, 0, 9, 1)
    result_list.append(temp)
result=np.mean(result_list)

    得到强化至9级的期望次数为：

模拟结果

    与我们用公式计算得到的结果357.0159相差无几，所以上面的求算过程无误。顺便修改一下上面函数的参数，可以验证一下6～7的期望次数。

模拟6～7期望次数

    与求算结果23.57143结果相差无几。

    本文到此就完结了，实际工作中，如果代码能力足够的话，我还是推荐直接采用统计模拟的方式。省心省力。