我们定义了群的概念，并且发现好多数学结构都可以归结为群。所以我们自然而然地会想去研究群的结构。也就是摸清楚在同构的意义下，群都有什么。在我的视频中，有关于群和群同构的内容，大家请自行搜索

本文预备知识：群的概念​，群同构​

研究群的结构有两种大的方向，一种是具体的，一种是抽象的。具体的方向是对一个具体的阶数讨论，如四阶群都有什么；抽象的方向直接对群的阶数和其他内容进行讨论（例如群同构基本定理），好处是讨论的结果对好多群都成立

那我们先从小的阶数讨论，依次研究群的结构

一阶群是幺群。之前介绍过

二、三阶群都是循环群，因为素数阶的群都是循环群

所以下面，我们来讨论四阶群

任意阶数的群都有循环群，四阶群也不例外。四阶循环群同构于四次单位根群，这个群很好研究，我们就不再说了，但是从这个例子中我们能提炼出一种研究群的方法。

在四次单位根群中，幺元为1，他乘以任何元素都等于那个元素，不必考虑他与其他元素的乘法。剩下三个元素的乘积是什么呢？我们可以一一列出来：

如何看这张表格？用左边的列乘以上边的行。这张表格展示了四次单位根群中除了单位元以外的其他元素的运算结果，称为略去单位元的群乘法表。群乘法表可以用来区分不同的群。四次单位根群的乘法表关于主对角线对称，从而四次单位根群是一个交换群

四次单位根群是一个能直接想到的四阶群，下面再构造一个

一个四阶群除去单位元外还有三个元素，三个元素能有什么好的性质呢？不知道你想到了什么，我想到了向量的向量积。取三维空间中一组标准正交基，考虑他们的向量积的乘法表：

但是这其中的元素已经远远超过了四个，不过可以进行调整：

我们删掉了”相反数“和0，保证了集合中有四个元素。可以看到，这是一个Abel群。我们来验证一下：

（1）结合律，由于具有对称性，我们只需要考虑下面这些式子能不能随意加括号:

，容易验证结合律成立

（2）幺元律  （3）逆元律  （4）交换律

单位元1是一阶元素，其余元素都是二阶元素，很显然他不与四阶循环群同构，是另一个四阶群，与这个群同构的群称为克莱因四元群。在这个群中，不考虑单位元：自己和自己运算结果为1，两个元素做运算结果为第三个元素

事实上，在同构的意义下，四阶群只有两种：四阶循环群和克莱因四元群，这个定理我们不证

下面来讨论另一个问题：群是抽象的，我们需要找一个合适的载体来表示群。一个重要的载体就是：几何图形。事实上，最早的群论研究的是对称性，而群就可以把图形的对称性和多项式的对称性联系起来

考虑一个几何图形（什么图形都行，但是后文只考虑平面图形），以及一个图形变换（这里的变换得是线性变换，不过你不需要知道什么是线性变换），如果图形经这个变换得到的新图形与原图形重合，则称这个变换是该图形的一个对称变换。

对称变换的意思就是，一个图形变换了以后，还在原来的位置。例如，轴对称图形关于对称轴的反射变换（按照中学的说法叫轴对称变换）是一个对称变换，圆绕着圆心转过一个角度也是圆的对称变换

既然是变换，那么就可以复合，也就是先做一个，再做一个，但是要注意，变换表示先做变换，再做变换，也就是变换乘法从右向左依次计算

可以证明，一个图形所有对称变换构成一个群，称为这个图形的对称群。这是因为：

（1）封闭性：对称变换的复合仍然是对称变换

（2）结合律：变换都是结合的

（3）幺元律：别忘了恒等变换也是对称变换

（4）逆元律：对称变换是可逆的，且其逆变换也是对称变换

这件事情说明，（1）一个几何图形可以诱导一个群，如果我们想构造群，可以从几何图形入手。（2）有些群与几何图形有关，可以借助这个为群做分类和命名

循环群可以看成正多边形的所有旋转变换构成的群，称为正多边形的旋转子群。

那么问题来了，克莱因四元群是什么图形的对称群呢？事实上，这个图形很简单：非正方形的矩形

矩形（下文说矩形就默认他不是正方形）有四个对称变换，对应四个对称元素（反射轴，旋转中心等等）。矩形有两条反射轴，分别记为a,b，则矩形的对称变换有：

e：恒等变换

a：绕反射轴a反射；b：绕反射轴b反射

c：绕中心旋转180°

矩形的对称变换，这里a,b是两条反射轴

容易看出，，，这足以说明与克莱因四元群同构。为什么？写出乘法表啊

可以看到，只要一个图形恰有两条反射轴（容易证明这两条轴垂直），他的对称群就是克莱因四元群，例如非正方形的菱形等等

对称群是研究图形的一个重要途径，一个图形的对称群结构越丰富，就说明他的对称性越高。但是在研究群时，它对应的图形不唯一，这个图形也不重要，我们一般取简单的图形，或者直接研究对称元素。在结构化学中，使用群的语言描述分子和晶胞的对称性

参考资料：

杨子胥《近世代数》第四版

人教版高中数学选修3-4《对称与群》