飞行力学-飞行器模型-1坐标系与坐标转换（附代码）
坑呀坑呀坑呀坑
编辑于 2023年09月02日 20:12
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温馨提示：本专栏内容用于回顾梳理，相较教材有所简化。本节涉及坐标系和坐标转换。

1  坐标系、坐标转换

1.1  常用坐标系

1）地面坐标系(goe)O_gx_gy_gz_g:

O_g通常取起飞点；O_gx_g通常取正北或航向；O_gz_g铅锤向下。

不考虑地球自转，惯性系。飞机三维坐标和速度在此坐标系下描述。

2）体轴系/机体坐标系(body)O_bx_by_bz_b:

O_b取飞行器质心；O_bx_b在飞行器对称平面内，平行于机身轴线，向前为正；O_bz_b在飞行器对称平面内，垂直于O_bx_b，向下为正；O_by_b垂直于对称平面，向右为正。注：苏系和美系坐标系不同，此处为美系，飞机常用美系，火箭常用苏系。

非惯性系。

3）风轴系/气流坐标系(air)O_ax_ay_az_a:

O_a取飞行器质心；O_ax_a指向空速方向；O_az_a在飞行器对称平面内，垂直于O_ax_a，向下为正；O_ay_a垂直于O_ax_az_a，向右为正。

非惯性系。

4）航迹坐标系O_kx_ky_kz_k:

O_k取飞行器质心；O_kx_k指向地速方向；O_kz_k在包含O_kx_k的铅锤平面内，垂直于O_kx_k，向下为正；O_ky_k垂直于O_kx_kz_k，向右为正。

非惯性系。与火箭的弹道坐标系平行，轴的定义和正负稍有区别

当且仅当风速V_%7Bwind%7D%3D0时，O_kx_k和O_ax_a方向一致。

1.2  坐标系转换

基元变换矩阵：

L_x(%5Czeta)%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%0A1%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%0A0%20%26%20%5Ccos%20%5Czeta%20%26%20%5Csin%20%5Czeta%20%5C%5C%0A0%20%26%20-%5Csin%20%5Czeta%20%26%20%5Ccos%20%5Czeta%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5Cquad

%20L_y(%5Ceta)%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%0A%5Ccos%20%5Ceta%20%26%200%20%26%20-%5Csin%20%5Ceta%20%5C%5C%0A0%20%26%201%20%26%200%20%5C%5C%0A%5Csin%20%5Ceta%20%26%200%20%26%20%5Ccos%20%5Ceta%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5Cquad

%20L_z(%5Cxi)%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%0A%5Ccos%20%5Cxi%20%26%20%5Csin%20%5Cxi%20%26%200%20%5C%5C%0A-%5Csin%20%5Cxi%20%26%20%5Ccos%20%5Cxi%20%26%200%20%5C%5C%0A0%20%26%200%20%26%201%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D

代码块
Python
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% matlab function
% edit by James D in 202300901

% example: 
% X_old = [1 0 0]'; % 3x1 vector
% RM = RotationMatrix_user(45,2); % 1:x  2:y  3:z
% X_new = RM*X_old; % 3x1 vector

function RM = RotationMatrix_user( RotationAngle_deg,Axes)
% input:
% RotationAngle_deg: Rotation Angle in degree.
% Axes: 1:x  2:y  3:z
% output:
% RM:3x3matix.

cos_RA = cosd(RotationAngle_deg);
sin_RA = sind(RotationAngle_deg);

switch Axes
    case 1 % Rotate around the x axis
        RM=[ 1,0,0; 0,cos_RA,sin_RA; 0,-sin_RA,cos_RA];
    case 2 % Rotate around the y axis
        RM=[cos_RA,0,-sin_RA; 0,1,0; sin_RA,0,cos_RA];
    case 3 % Rotate around the z axis
        RM=[cos_RA,sin_RA,0; -sin_RA,cos_RA,0; 0,0,1];
end
end
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原坐标系下坐标X_%7Bo%7D%EF%BC%88x_%7Bo%7D%EF%BC%8Cy_%7Bo%7D%EF%BC%8Cz_%7Bo%7D%EF%BC%89%5ET，旋转后坐标系下坐标X_%7Bn%7D%EF%BC%88x_%7Bn%7D%EF%BC%8Cy_%7Bn%7D%EF%BC%8Cz_%7Bn%7D%EF%BC%89%5ET。

假设按照213顺序（y-x-z）旋转。则：

%20%20X_n%20%3DL_%7Bzo%7DX_o

L_%7Bzo%7D%3D%20L_z(%5Cxi)L_x(%5Czeta)L_y(%5Ceta)

因正交变换，有：

L_%7Boz%7D%3D%20(L_%7Bzo%7D)%5E%7B-1%7D%3D%20(L_%7Bzo%7D)%5E%7BT%7D

1）地面系到体轴系，3-2-1旋转

姿态角/欧拉角：

偏航角%5Cpsi（yaw ）：O_gx_g 与 机体轴O_bx_b在水平面O_gx_gy_g上投影的夹角，右偏航为正（坐标系旋转方向为O_gz_g正向）。

俯仰角%5Ctheta（pitch）：机体轴O_bx_b在水平面O_gx_gy_g上投影 与 机体轴O_bx_b的夹角，右偏航为正（坐标系旋转方向为Oy%26%2339%3B正向）。

滚转角%5Cphi（roll）：包含机体轴O_bx_b的铅锤平面 与 飞机对称平面的夹角，右滚转为正（坐标系旋转方向为O_bx_b正向）。

代码块
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%% goe2body
% matlab
[phi_d,theta_d,psi_d] = deal(3,5,10);

cos_phi = cosd(phi_d);
sin_phi = sind(phi_d);
cos_theta = cosd(theta_d);
sin_theta = sind(theta_d);
cos_psi = cosd(psi_d);
sin_psi = sind(psi_d);

% body2goe
RM_bg = [ cos_theta*cos_psi, cos_theta*sin_psi, -sin_theta;
          sin_phi*sin_theta*cos_psi-cos_phi*sin_psi, sin_phi*sin_theta*sin_psi+cos_phi*cos_psi, sin_phi*cos_theta;
          cos_phi*sin_theta*cos_psi+sin_phi*sin_psi, cos_phi*sin_theta*sin_psi-sin_phi*cos_psi, cos_phi*cos_theta;];

RM_bg = RotationMatrix_user(phi_d,1)...
       *RotationMatrix_user(theta_d,2)...
       *RotationMatrix_user(psi_d,3);
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2）体轴系O_bx_by_bz_b到风轴系O_ax_ay_az_a，2-3旋转

攻角%5Calpha（angle of attack）：飞行器空速矢量V在飞机对称平面投影 与 机体轴O_bx_b的夹角，空速投影在O_bx_b下方为正（坐标系旋转方向为O_by_b负向）。

侧滑角%5Cbeta（angle of sideslip）：飞行器空速矢量V 与 飞机对称平面的夹角，空速在对称面右侧为正（坐标系旋转方向为O_az_a正向）。

代码块
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%% body2air
% matlab
[alpha_d,beta_d] = deal(5,3);

cos_alpha = cosd(alpha_d);
sin_alpha = sind(alpha_d);
cos_beta = cosd(beta_d);
sin_beta = sind(beta_d);

% body2air
RM_ab = [ cos_alpha*cos_beta, sin_beta, sin_alpha*cos_beta;
          -cos_alpha*sin_beta, cos_beta, -sin_alpha*sin_beta;
          -sin_alpha, 0, cos_alpha;];

RM_ab = RotationMatrix_user(beta_d,3)...
       *RotationMatrix_user(-alpha_d,2);
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3）地面系O_gx_gy_gz_g到航迹坐标系O_kx_ky_kz_k，3-2旋转

航迹（轨迹）偏角/航向角%5Cchi：O_gx_g（通常为正北）  与  O_kx_k（地速方向）在水平面O_gx_gy_g投影的夹角，航迹右偏为正（坐标系旋转方向为O_gz_g正向）。

航迹（轨迹）倾角/爬升角%5Cgamma：O_kx_k（地速方向）与 水平面O_gx_gy_g的夹角，航迹向上为正（坐标系旋转方向为O_ky_k正向）。

代码块
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%% goe2k
% matlab
[chi_d,gamma_d] = deal(5,3);

cos_chi = cosd(chi_d);
sin_chi = sind(chi_d);
cos_gamma = cosd(gamma_d);
sin_gamma = sind(gamma_d);

% body2air
RM_kg = [ cos_gamma*cos_chi, cos_gamma*sin_chi, -sin_gamma;
          -sin_chi, cos_chi, 0;
          sin_gamma*cos_chi, sin_gamma*sin_chi, cos_gamma;];

RM_kg = RotationMatrix_user(gamma_d,2)...
        *RotationMatrix_user(chi_d,3);
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注意：上面定义来自于《无人机自主控制系统理论与方法》，书中将航迹（轨迹）偏角与航向角当成同一角度，笔者不太建议用此定义。在某些地方，会同时使用航向角、航迹角、偏航角。给出一种定义如下：

航向角：体轴O_bx_b在水平面投影与O_gx_g（取正北）的夹角，投影在右侧为正，范围%5B0%5Eo%2C360%5Eo)

航迹角：O_kx_k（地速方向）在水平面投影与O_gx_g（取正北）的夹角，投影在右侧为正，范围%5B0%5Eo%2C360%5Eo)

偏航角：体轴O_bx_b在水平面投影与O_gx_g（取当前航线方向）的夹角，投影在右侧为正，范围%5B-180%5Eo%2C180%5Eo)

参考：

吴森堂.飞行控制系统[M].北京航空航天大学出版社,2013.

陈宗基，周锐，张平编著.无人机自主控制系统理论与方法[M].上海：上海交通大学出版社,2021

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