第十四章 中值定理（2）——罗尔定理

一、知识点

1. 罗尔定理：01:09

   1. 内容：

      1. 条件：如果f(x)满足：①[a,b]上连续；②(a,b)内可导；③f(a)=f(b)

      2. 结论：则存在ξ属于(a,b)，使得f'(ξ)=0

   2. 几何直观：03:37

   3. 注解：

      1. 对于一个给定的函数f(x),和给定的区间[a,b]，ξ这个“中值”是确定的。09:39

      2. ξ未必只有一个13:01

      3. 罗尔定理是充分非必要条件。

二、证明

1. 罗尔定理证明（使用费马引理）：04:43

2. 关于证明f(ξ)的n阶导等于0：14:07

   1. 方法：用罗尔定理证题，关键是要找两点函数值相等，如果条件没有明确告诉你，考虑用平均值原理。

      1. 一阶导等于0：找f(a)=f(b)

      2. 二阶导等于0：

         1. 法1：找f(a)=f(b)=f(c)

         2. 法2：找f'(ξ1)=f'(ξ2)

   2. 例题：

      1. 16:02

      2. 20:38：介值定理

      3. 27:29：积分中值定理+介值定理

      4. 32:26

      5. 35:59

3. 需要构造辅助函数的证明（还原法）：

   1. 40:18

      1. 注意看第二小题是怎么通过分析构造出原函数的。

   2. 47:23

   3. 53:03

   4. 59:17

4. 化归成“还原法”的类型：01:04:55

   1. 01:05:44

   2. 01:13:50

      1. 差两阶化成差一阶

   3. 01:23:32

5. 含两个函数，或同时含有中值和常数的类型：01:30:53

   1. 01:31:22

      1. 看构造原函数的过程

   2. 01:36:04

   3. 01:40:15

三、计算

1. 对罗尔定理中的中值ξ的理解：11:36