一、单位阶跃响应的时域表达式

二阶系统具有如(1)所示的传递函数：

(1)

在单位阶跃激励的作用下，二阶系统具有(2)所示的响应：

(2)

考察(2)分母的二次三项式，在欠阻尼的情况下，(2)可表示为：

(3)

令：

(4)

则(3)可表示为(3’)：

(3')

以(3’)为基础可考虑将(2)分解成(5)所示的形式，以获得单位阶跃响应的模态：

(5)

对(5)左右两侧同乘“s”，可得(5-1)：

(5-1)

使(5-1)中的s→0，可得K1的取值：

(5-2)

将(5-2)代回(5)，可得：

对比等式两侧可的待定系数K2,K3

(5-2)(5-3)代回(5)可得阶跃响应的模态分布：

(6)

图1 阻尼角β的定义

按照图1所示的阻尼角定义，可将(6)整理为(6’)：     

(6')

取(6’)的拉普拉斯逆变换，可得阶跃响应的时域表达式：

(7)

其中：

2.1无阻尼情况下的等幅振荡响应曲线

当系统阻尼系数ξ = 0时，阻尼角β = 90°，(7)呈现为等幅振荡曲线，超调

量σ = 100%.            

(7-1)

图2 无阻尼(ξ = 0)情况下的阶跃响应曲线

2.2临界阻尼情况下的响应曲线

当系统阻尼系数ξ = 1时，阻尼角β = 0°，系统可在不超调的前提下获得最快的阶跃响应.

(7-2)

图3 临界阻尼(ξ = 1)情况下的阶跃响应曲线

2.3上升时间tr

图4 上升时间tr指的是阶跃响应曲线第一次到达给定值所需要的时间

取k = 1，可得上升时间tr的表达式：                        

(8)

2.4峰值时间tp与最大超调σ

图5 峰值时间tr指的是阶跃响应曲线第一次到达极大值所需要的时间

所以：

取k = 1，可得上升时间tp的表达式：

(9)

根据阶跃响应在峰值时间tp的取值，可得最大超调量：

图6 最大超调量σ随阻尼比ξ的增大而减小

2.4调节时间ts

(10)