现在我们来讨论一般的拓扑空间上的下半连续函数的性质，我们先给出两个等价刻画

下半连续当且仅当，存在

假设下半连续，,而，

反之，假设后者成立，只需要注意:是开集，因为，那么取，则存在，于是。

在给出第二等价刻画之前，定义

上的拓扑为自然的乘积拓扑,我们用表示。另外我们想补充说明，如果是度量空间，那么如果按照下面这种方式定义乘积空间上的度量，它诱导的拓扑将和自然的乘积拓扑一样。

请读者自己验证它确实为一度量。一方面，考虑，那么，存在，所以

而我们注意到,第一个不等式表示中的开集，第二个表示中的开集，因此是，因而，，所以。另一方面，由形如的集合生成，取，那么存在

取，那么

从而,然而显然也有，所以得到的等式说明，因而。

这让我们如果在一般的乘积拓扑下建立了一些拓扑性质的结论，关于度量空间的乘积空间，能引入该度量保持我们得到的拓扑性质的结论。

下半连续当且仅当闭

若下半连续，我们考虑，取,由于存在，因而

从而开，因而闭

另一方面，如果开，那么取，，从而存在

可见，因此下半连续

我们指出:下半连续，那么

（反之不对，我们已经在上一节给出反例）证明我们留给读者，它和上一节中在度量空间中的证明完全类似。

设是下半连续的函数族，那么

下半连续

（从拓扑空间到广义实数的下半连续函数的定义与我们原有的定义相同）

这只需要注意到，因此

为闭集。

接着我们来证明：

下半连续，紧致，那么可以达到最小值

先证有下界。注意到是的开覆盖，由于紧致，存在有限子覆盖，即，存在，因此，有下界

设下确界为，假设无法达到，那么是的开覆盖，因而有有限子覆盖，即，存在，即

这与下确界矛盾。

而关于上半连续函数，它的定义，以及这些性质都可以与下半连续函数对称地得到，并且不难发现，一个函数连续当且仅当它上半连续且下半连续。