上回书说到，我们该讲线性空间了。

1.线性空间

这个其实在代数体系概论的时候就提过了。现在我就不废话了。直接把线性空间的定义丢过来了。

设V是一个非空集合，P是一个域(在我们这个系列里，P一般都是数域)。若：

在V中定义了一种运算，称为加法

在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(如果P是数域则也可称为数量乘法)。

如果加法与纯量乘法满足以下几条运算法则：

1) ∀α,β∈V，α+β=β+α(加法满足交换律)

2) ∀α,β,γ∈V，α+(β+γ)=(α+β)+γ(加法满足结合律)

3) ∃0∈V，st.(使得) ∀α∈V，α+0=α，元素0称为V的零元(存在零元)

4) ∀α∈V，∃β∈V，st. α+β=0，β称为α的负元素，记为-α(存在负元)

5) ∃1∈V，st. ∀a∈V，1α=α(存在单位元)

6) ∀k，l∈P，α∈V，(kl)α=k(lα)(纯量乘法有结合律)

7) ∀k，l∈P，α∈V，(k+l)α=kα+lα。(纯量乘法对标量加法的右分配律)

∀k，l∈P，α∈V，α(k+l)=αk+αl(纯量乘法对标量加法的左分配律)

二者统称纯量乘法对标量加法的分配律。

8) ∀k∈P，α，β∈V，k(α+β)=kα+kβ。(纯量乘法对向量加法的左和右分配律)

则称集合V为域P上的一个向量空间(也称为线性空间)。

而集合V中的元素称为向量(矢量)。

集合V中的零元就是零向量。

对应的，域P中的元素称为标量(数量)。

注意，这八条运算律中不包含纯量乘法的交换律！！！(所以才要区分左右分配律)

通过这样的定义，我们极大地扩展了向量与标量的外延。

除了高中那类向量之外还有很多其他的向量空间。

我给你举几个例子。

第一种是Rⁿ。

第二种是齐次线性方程组的解空间。

第三个例子是Ms×n(K)。

第四个是数域P上的全体多项式构成的集合。

第五个则比四还广一些，是[a，b]上所有连续函数的集合。

第六个是全体实函数，并且它的子空间是所有实系数多项式构成的集合。

还有一点，线性空间本质上是一个特殊的集合，因此我们可以对它用集合的运算与符号。

根据我们高中所学的知识，高中所讲的向量对这几条运算律都满足，因此它们的全体构成的集合构成向量空间。

为了方便，高中那类向量我要取名字了。

根据定义，分量属于数域P的全体n元数组构成的数域P上了一个线性空间，这个向量空间我们记作Pⁿ。因此，高中的二维向量全体我们姑且(事实上，高中的向量空间还有度量呢。我们这里的向量可没有长度啊什么的)可以认为构成了线性空间R²，三维则是R³。(不晓得前面看到那个Rⁿ有没有让你傻一会儿)

线性空间具有一些你很容易就能证明的性质(这些我在代数体系概论里证过了)

而我要做的工作这是定义维数啊什么的。

2.线性空间的维数与基

在向量组那一期我们就知道，纯量乘法和加法都是线性运算。并且向量组中的每一个向量都可以由其极大线性无关组线性表出。

可你有没有发现，整个线性空间实际上就是一个巨大的向量组？

因此我们也可以找到它的极大线性无关组使得线性空间中的每一个向量都可以由他们线性表出。

如果这个极大线性无关组有n个向量则称该线性空间V的维数是n，记作dim(V)=n。有时也会说该线性空间的向量是n维向量。

如果可以找到任意多个线性无关的向量就称该线性空间是无限维的。

没错，我们的线性空间是可以有无限维的。(之后我会举例)

对于n维线性空间V来说，在其中取某个含有n个向量的线性无关向量组，

(根据向量组的知识，这个向量组一定是其极大线性无关组)

如果V中的任意向量与该向量组拼接而成的向量组线性相关

(向量组的知识:线性无关的向量组加上新的向量后线性相关则新的向量一定能由原向量组线性表出且表法唯一)

则称该向量组是线性空间V的一组基。

(类比R²中基底的作用)

V中任意一个向量用基线性表出的表出系数就是该向量在线性空间V的坐标。如果表出系数是1 2 3就记坐标为(1，2，3)以此类推。

我们这样定义基有一个好处，那就是利用了向量组的知识确保了每一个向量都能被表出且表示方法(坐标)唯一，并且基所含向量的个数就是线性空间的维数。

根据向量组的知识，线性空间V中任意一组有n个向量的线性无关向量组如果能线性表出出任意一个V中的向量，则该向量组是线性空间V的基且dim(V)=n

证明也很简单。

设向量组α1，α2，……，αn线性无关则dim(V)≥n。

而V中任意一个含有n+1个向量的向量组β1，β2，……，βn+1必然线性相关。

理由如下，

∵向量组α1，α2，……，αn能线性表出向量组β1，β2，……，βn+1

∴rank(β1，β2，……，βn+1)≤rank(α1，α2，……，αn)=n

∴向量组β1，β2，……，βn+1线性相关。

因此，对V中任意一个向量γ，

向量组α1，α2，……，αn，γ都线性相关

而向量组α1，α2，……，αn线性无关。

根据基的定义，向量组α1，α2，……，αn就是V的一组基。

根据维数的定义，dim(V)=n

由上面的证明我们还能看出，任意一个含有n+1个向量的n维向量组都线性相关。而部分组线性相关则整体组线性相关。因此任意一个向量数大于维数的向量组都线性相关。

又因为线性空间中的每一个向量都能被基线性表出因此研究线性空间只需研究基即可。所以，对线性空间的研究可以转化为对基的研究。但是但是，恰如向量组的极大线性无关组不唯一一样，线性空间的基也不唯一。也就是说，对同一个线性空间选取不同的基或许就会得到不同的样子。而这些样子之间的转换就是基变换了。

3.基变换

根据基的定义，同一个线性空间的两组基是可以互相线性表出的。

也就是说必定存在这样的式子。

你看上面那个括号包括的一组式子，它既可以看做是线性方程组的形式又可以看做是线性替换。

因此，线性空间的基变换满足线性替换的内容。

利用它我们就能找到变换前后同一个向量坐标间的关系了。

线性替换我们是用矩阵来研究的，所以我们当然也希望基变换也能用矩阵表示。

而这直接套用线性替换即可。

在这里，最右边的那个n×n矩阵称为基变换的过渡矩阵。因为变换前后的两组基能互相线性表出，因此过渡矩阵一定是可逆矩阵。

至于线性空间里的每一个向量，其实也可以用矩阵表示。

这样我们要研究的每一个东西都矩阵化了。接着就只需要利用前面矩阵的知识即可。

有了这一套之后，我们很容易就能得到以下的运算律。

但这不是这一期的重点，因此我就不说了。

回到咱们的主题上来。

线性空间中的任意一个向量都可以用新基这样表示

而左边的向量恰好是新基。新基又可以表达出旧基乘以过渡矩阵。

而这个向量又可以由旧基线性表出为

因此我们似乎会发现，我们可以把旧基约去得到

(下面那个是再左乘过渡矩阵的逆矩阵得到的)

而这就是向量坐标变换公式。

但你或许会觉得我们约去旧基这件事是有问题的。那很好。因为矩阵的乘法是不满足约去律的(即你在等式两边约去某一个矩阵后得到的两个矩阵可能不等)。

但是在这里确实是可以约去的。

实际上，满秩的矩阵在矩阵的乘法里是可以约去的。

即若矩阵A是满秩矩阵AB=AC，则B=C。

下面给出证明。

∵AB-AC=0

∴A(B-C)=0

∴det(A)det(B-C)=0

∴det(A)=0或det(B-C)=0

∵A满秩

∴det(A)≠0

∴det(B-C)=0

∴B-C=0

∴B=C

证毕。

而根据基的定义，一组基构成的矩阵一定是满秩矩阵可以约去。

所以我们前面的推导没问题。

到了这里不晓得你明白没有，为什么我之前说矩阵的乘法的几何意义是做线性变换。

并且前面我说你先把基底变换后的坐标记下来写成矩阵，然后用这个矩阵左乘旧坐标即是变换后的新坐标了。

实际上，前面你写的矩阵就是这里的过渡矩阵啊！

因此从那里我就在带着你用基变换和向量坐标变换公式了。

4.线性子空间及其运算

根据前面我们对线性空间的定义，线性空间是满足几个条件的集合。

而对集合我们前面定义了交并补等运算，还有子集等概念。

那么线性空间是否也存在运算和子空间呢？

先来看看最简单的子空间吧。

对于我们所处的空间来说，过原点的平面是它的子集并且它也构成线性空间。

这似乎就在提醒着我们，线性空间是可以存在部分构成线性空间的子集的。

这类子集便是线性空间的线性子空间(简称子空间)。

对于线性空间的子集来说，它之间的元素做加法和纯量乘法一定满足原线性空间的运算律。因此我们不用担心运算律的满足问题。

但我们并不能保证加法和数量乘法是子集上的代数运算。

额，你是不是忘了一个集合的代数运算是啥了所以对这句话一脸懵逼？

那好吧，虽然我在代数结构概论里说过但我还是重复一下。

若A,B为两个非空集合则记

设A,B,C为三个非空集合，那么A×B到C的映射f称为A和B到C的一个代数运算(简称运算)。

而集合A上的代数运算是指，A×A到A的映射。

好，你可能还是没看懂这三句话。我举个例子你就知道了。

对于有理数构成的集合Q来说，加法便是Q的代数运算。

因为有理数加上有理数还是有理数。

或者我们也可以表示成，有理数对加法封闭。

而对全体整数构成的集合Z来说，加法也是Z的运算。

因为整数+整数还是整数。

即Z对加法封闭。

但是除法就不是Z上的运算了。

因为1÷2=0.5∉Z而1，2∈Z

即存在两个整数的除法不是整数。

也就是Z对除法不封闭。

现在，我们要保证大的线性空间的纯量乘法和加法也是子集的运算就是要保证子集对加法和纯量乘法封闭。

这也就是说，线性空间A的非空子集B如果对A上的加法和纯量乘法封闭那么B就是A的线性子空间。

因为线性子空间也是线性空间，因此它也有什么基啊维数啊之类的。

但是线性子空间所含的线性无关向量组的向量个数一定不会超过原线性空间，因此线性子空间的维数≤原线性空间的维数。

这里有子空间的几个例子。

还有一个子空间非常特殊，它是由线性空间中某几个向量生成的子空间。

我们从线性空间V中任取几个向量α1，α2，……，αs

则以这几个向量的所有线性组合作为元素的集合就是它们生成的子空间记作L(α1，α2，……，αs)

根据定义我们可以看出，L(α1，α2，……，αs)中的任意一个向量β都能由α1，α2，……，αs线性表出。因此

dim(L(α1，α2，……，αs))=rank(α1，α2，……，αs)

更进一步，结合前面向量组的知识，

两个向量组生成的子空间相等当且仅当两个向量组等价。(而这也才是“等价”这个关系叫“等价”的原因)

这里证明一下哈。

∵L(α1，α2，……，αs)=L(β1，β2，……，βr)

又∵α1，α2，……，αs都在线性子空间L(α1，α2，……，αs)内

∴向量组α1，α2，……，αs可以由向量组β1，β2，……，βr线性表出

同理，β1，β2，……，βr可以由向量组α1，α2，……，αs线性表出

∴向量组α1，α2，……，αs≌β1，β2，……，βr

反过来，

如果向量组α1，α2，……，αs≌β1，β2，……，βr，那我们可以证明它们生成的子空间相等。

∵L(α1，α2，……，αs)上的每一个向量都可以由向量组α1，α2，……，αs线性表出

又∵向量组α1，α2，……，αs可以由向量组β1，β2，……，βr

∴L(α1，α2，……，αs)上的每一个向量都可以由向量组β1，β2，……，βr线性表出。

∴L(α1，α2，……，αs)⊆L(β1，β2，……，βr)

同理，L(α1，α2，……，αs)⊇L(β1，β2，……，βr)

∴L(α1，α2，……，αs)=L(β1，β2，……，βr)

接着是线性子空间之间的运算。

线性子空间是线性空间的子集，因此我们可以仿造集合的运算来定义线性子空间的运算。

仿造集合的交集我们有线性子空间的交，而子空间A和B的交就记作A∩B。

但是我们要能保证A∩B也是线性空间的子空间，这样我们定义的交集才是线性子空间上的运算。

∵A，B都是子空间

∴它们都含有零向量

∴A∩B非空。

根据我们前面的内容，要证明A∩B是线性空间的子空间只需证明其对加法和纯量乘法封闭即可。

∀α，β∈A∩B，都有α，β∈A。

于是根据A满足对加法的封闭性，α+β∈A

同理，α+β∈B

∴α+β∈A∩B即A∩B对加法封闭。

类似的，∀α∈A∩B，都有α∈A。

于是根据A满足对纯量乘法的封闭性，∀λ∈P(P是定义线性空间的那个域即标量构成的集合)，都有λα∈A。

因此A∩B对纯量乘法封闭。

我们这里定义的线性空间的交实质上就是集合的交，因此它满足集合交的所有性质。

例如，交换律和结合律。

子空间的第二个运算便是和。

A+B就是子空间A与B的和，它的元素是A，B中两个向量的和。

类似与子空间的交，我们可以证明和也是线性空间的运算并且满足一些性质。

而线性空间的交与和之间存在一定的关系。

它们在维数上的这条关系便是维数公式及其推论。

下一个子空间的运算不是并集，因为它不是线性子空间上的代数运算。

例如线性空间R³中，xOy平面和xOz平面便是R³上的两个子空间。

而(1，1，0)∈xOy平面，(1，0，1)∈xOz平面。

但是两个向量的和(2，1，1)则∉两平面的并集。

因此，子空间的并集不是子空间上的代数运算。(当然，你可以再定义什么别的和让它满足，不过we don't care)

我想介绍的下一个子空间的运算是子空间和是特殊形式——子空间的直和。

额，这个吧我也不想说太多。(已经迫不及待说欧式空间啦)直接放图片吧。

5.线性空间的度量之欧式空间

现在，目光重回线性空间。

我们之前的线性空间里只有加法和纯量乘法两种线性运算。并且我们的向量是集合里的元素，因此它没有传统意义上的夹角和长度。而这让我觉得很不优。

因此我们要在线性空间里引入度量的概念即引入长度和夹角。(新的推广意义上的)

在我们高中所介绍的向量里，两个向量的点积(也称为内积、点乘等)其大小是模模夹角的余弦。它同时包含了模(长度)与夹角两个量。

而夹角的余弦便是两个向量的点积数乘(向量长度的积的倒数)，向量的模(长度)则是向量自己点乘自己再开根号。

也就是说，我们利用向量的点积求得了向量的长度与夹角。

这提示我们，可以在我们推广的向量空间里定义内积，利用内积再定义长度与夹角。

在数学上，向量的内积被定义为了满足几个条件的二元实函数。

而能够定义这样的内积的线性空间就称为欧几里得空间。

因为这个内积是通过高中的点乘推广而来的，因此高中的点乘满足上面的所有性质。这也就意味着，高中研究的向量所组成的向量空间实际上就是欧几里得空间(简称欧式空间)。(也就是图片里说的几何空间)

不过我还是说一下内积的定义是什么意思哈。

我们照着高中点积来介绍。

a向量点乘向量结果是一个实数。因此我们可以认为我们实际上是定义了一个有两个自变量且结果为实数的二元实函数。当我们把a向量和b向量代入时便能得到它们点积的结果。这也就是我们选择二元实函数的理由。

而第一条则是说点乘要满足交换律。

第二条则可以对照(ka向量)b向量=k(a向量b向量)得到。

第三条是说点乘对加法有分配律即(a向量+b向量)c向量=a向量c向量+b向量c向量。

第四条则是说a向量a向量≥0并且等号只在a向量为零向量时成立。(这保证了我们能定义长度)

而a向量与b向量的内积记作(a，b)

这便是抽象内积的定义。

也就是说，现在对于任意一个线性空间，只要你能找到一个二元实函数满足前面的几个条件那么它就是内积。

这里给出两个内积的例子。

第一个是高中介绍的点乘。

然后就是

你没见过的船新内积了。

嗯，这也是个内积。

有了内积我们就可以定义长度了。

并且有了长度我们还能定义单位向量。

而有了长度和内积我们就可以定义向量的夹角了。

一切似乎都与我们一开始设想的很像。

但是，这个夹角的规定其实还有问题。

arccos的定义域是[-1，1]但你怎么知道内积除以向量模长积在定义域内呢？

实际上，它确实成立。得到他就等价于得到了大名鼎鼎的柯西-布尼亚科夫斯基不等式(即柯西不等式)。而这个不等式吧。。。我老早就先单独开专题讲了，因此我打算把他丢到专题里，所以我现在就不说了。

定义了夹角之后就可以定义平行和垂直了。

当然，一般大家都只定义垂直，也就是夹角＝π/2的情况。

平行嘛。。。。你也可以照你想要的定义，应该没事的。

然后咱们要聊的是度量矩阵。这个就跟二次型是相通的了，所以我也不用多说什么。

借助内积，我们还能证明欧式空间中存在勾股定理。

设α⊥β

则(α+β)²=α²+2(α，β)+β²=α²+β²

根据定义，向量的平方就是模的平方，那上式就是勾股定理了。

并且我们还能把它推广到n个两两垂直的向量。

这一期只是粗略得介绍了一下线性空间，但是我们还没有建立良好的处理线性空间的工具。

之后我们会利用映射研究法通过同构映射来研究线性空间。当然，线性空间的理论中除了同构之外还有同态等等。这些吧。。。。我或许还会介绍。