狄利克雷核&傅里叶级数的收敛条件（重置版）
saber抱着小狮子
2022年11月19日 12:09

R上的绝对可积函数f，我们总可以考虑它的傅里叶级数部分和（因为傅里叶系数总有意义）同时，通过延拓，我们也可以把f视作R上以2%5Cpi为周期的函数

%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da_0%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_k%5Ccos%20kx%2Bb_k%5Csin%20kx%20

这也就是：

第二项我们用两角和公式写成

%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(t)%20%5Ccos%20k(t-x)%20dt

而对于%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Ccos%20k(t-x)，我们利用积化和差公式，因为：

%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Ccos%20k(t-x)%20%5Csin%20%5Cfrac%7Bt-x%7D%7B2%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Csin%20(k%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)(t-x)-%5Csin%20(k-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)(t-x)%3D%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)(t-x)-%5Csin%20%5Cfrac%7Bt-x%7D%7B2%7D

于是看出

%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(t)%20%5Ccos%20k(t-x)%20dt%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%0A%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(t)(%5Cfrac%7B%5Csin(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)(t-x)%7D%7B%5Csin%5Cfrac%7B(t-x)%7D%7B2%7D%7D-1)dt

看出部分和就是%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df(t)%20%5Cfrac%7B%5Csin(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)(t-x)%7D%7Bsin%5Cfrac%7B(t-x)%7D%7B2%7D%7D%20dt%0A%0A

我们把D_n(t)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%7D%7Bsin%20(%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D)%7D称为狄利克雷核，看出f的部分和就是f与D_n在%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D上的卷积

特别的,令f恒为1我们就得到，%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20D_n%20dt%3D1

下面我们就可以考虑f满足什么条件时，傅里叶级数才会收敛到它，因为

部分和是%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df(t)D_n(x-t)dt%3D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x-t)Dn(t)dt

我们看到f(x)与它的差就是

%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D(f(x)-f(x-t))D_n(t)dt

于是看出若f在x处满足李普希兹条件条件：

%E5%AD%98%E5%9C%A8A%3E0%2C%20%E4%BB%A5%E5%8F%8A%5Calpha%EF%BC%9E0%E4%BD%BF%E5%BE%97%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84x%2Bt%2Cx%E5%B1%9E%E4%BA%8Ef%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%EF%BC%8C%E6%9C%89%7Cf(x%2Bt)-f(x)%7C%EF%BC%9CA%7Ct%7C%5E%CE%B1

那么差就趋于0,因为0是可能的积分瑕点，而%5Cfrac%7B%7Cf(x)-f(x-t)%7C%7D%7B%7C%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7C%7D%20%EF%BC%9CA%7C%5Cfrac%7B%7Ct%7C%5E%CE%B1%20%7D%7B%7C%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7C%7D%20利用瑕积分中比较判别法的极限形式知道，该积分收敛。于是在%7Ct%7C%EF%BC%9C%5Cepsilon上的积分随%5Cepsilon%20%5Cto%200而趋于0，而在%7Ct%7C%5Cge%20%5Cepsilon上的积分，按照我们先前证明的勒贝格黎曼定理，随n%5Cto%20%5Cinfty而趋于0，于是因为%7C%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20(f(x)-f(x-t)%20D_n(t)%7C%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B%7Ct%7C%3C%20%5Cepsilon%7D%7C%20%5Cfrac%7Bf(x)-f(x-t)%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%7Cdt%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%7C%5Cint_%7B%7Cx%7C%5Cge%20%5Cepsilon%7D%20(%20f(x)-f(x-t))D_n(t)%20dt我们先取n%5Cto%20%5Cinfty，再取%5Cepsilon%20%5Cto%200，就得到差趋于0，因此此时傅里叶级数收敛到f

读者也应该注意，把x%E5%A4%84李普希兹条件条件换为x处可导，级数也一样在x处收敛到f。

再考虑一般的傅里叶级数不收敛到f，而收敛到某个数S的情况

D_n是偶函数，这让我们考虑把%5B-%5Cpi%2C0%5D上的积分通过换元变换到[%5B0.%5Cpi%5D上，我们就得到部分和的另一表示：

%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20(f(x%2Bt)%2Bf(x-t))D_n(t)%20dt

于是想让部分和收敛到S，用与上面完全一样的办法，只需要让f(x%2Bt)%2Bf(x-t)-2S满足:%E5%AD%98%E5%9C%A8A%2C%CE%B1%EF%BC%9E0%E4%BD%BF%E5%BE%97%7Cf(x%2Bt)%2Bf(x-t)-2S%7C%EF%BC%9CA%7Ct%7C%5E%CE%B1%EF%BC%8C就够了。

（我们不妨把它称作第二李普希兹条件条件）

特别的，如果我们假定f在x处左右极限都存在,取S%3D%5Cfrac%7Bf(x%2B0)%2Bf(x-0)%7D%7B2%7D，而且让%5Cfrac%7Bf(x%2Bt)-f(x%2B0)%7D%7Bt%7D%20 以及%5Cfrac%7Bf(x-0)-f(x-t)%7D%7Bt%7D当t%5Cto%200%5E%2B时极限都存在，则f满足第二第二李普希兹条件条件，此时傅里叶级数收敛到S

所以，我们引进f在%5Ba%2Cb%5D逐段可微的概念:

%E5%A6%82%E6%9E%9Cf%E5%9C%A8%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E5%88%86%E6%AE%B5%E5%8F%AF%E5%AF%BC%EF%BC%8C%E8%80%8C%E4%B8%94%E5%9C%A8%E5%88%86%E6%AE%B5%E7%82%B9%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E4%B8%8A%E9%9D%A2%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AD%98%E5%9C%A8

可见:%E5%81%87%E5%A6%82f%E5%9C%A8%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%E4%B8%8A%E9%80%90%E6%AE%B5%E5%8F%AF%E5%BE%AE%EF%BC%8C%E9%82%A3%E4%B9%88f%E7%9A%84%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0%E6%94%B6%E6%95%9B%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%88%86%E6%AE%B5%E7%82%B9%E6%94%B6%E6%95%9B%E5%88%B0%5Cfrac%7Bf(x%2B0)%2Bf(x-0)%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%85%B6%E4%BB%96%E7%82%B9%E6%94%B6%E6%95%9B%E5%88%B0f(x)

本文为我原创，未经授权禁止转载
cv19880413