在我刚开始学弹性力学的时候，我对张量和矩阵之间的关系理解是这样的：张量就是矩阵，矩阵就是张量。
但是经过我多年的潜心研究，我现在对张量和矩阵之间的关系理解是这样的：张量是张量，矩阵是矩阵。
听起来好像一句废话，那为什么张量可以用矩阵来进行表达呢？
我们以 2 阶张量为例，来探究为什么张量可以用矩阵的形式进行表达。
如下是一个二阶应力张量的一般表达形式：
代表并失，其他文献中没有加下划线，我这里加下划线是为了避免和内积混淆，同时也强调了整体性。
从 的表达式可以看出，应力空间的基有9个，所以应力张量的空间的维度是 9 。
若我取一个空间，这个空间里的量是 矩阵，那这个空间的维度是多少呢？维度也是9 。为什么呢？ 可以想象一下，任何一个
的矩阵都可以用9个
，的矩阵的线性组合进行表达。
应力张量所组成的空间和 的矩阵所组成的空间的为度相等，说明什么呢？说明应力张量所组成的空间和
矩阵所组成的空间同构。（域
上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相等，丘维声，高等代数下册，P206）
既然应力张量所组成的空间和 矩阵所组成的空间同构，那必然存在从
的一个双射（即是单射又是满射），也就是说3维矢量上的一个二阶张量必然和唯一的对应于一个
的矩阵。
同时，若张量对于加法构成一个群，矩阵对于加法构成一个群，这两个群之间存在一个同态。就是说在同态映射的规则下，我把张量加起来后对应成一个矩阵和 把两个张量先对应成矩阵，再把这两个矩阵加起来的到的矩阵 结果是相同的。（群同态可参考：丘维声，群表示论，P9）
同理，张量对于乘法构成一个群，矩阵对于乘法也构成一个群，这两群之间也存在一个同态。若定义张量的乘法为：，矩阵的乘法大家都听熟悉了。张量相乘后对应于一个矩阵，和先把这两个张量对应成两个矩阵，再把这两个矩阵相乘后的到的矩阵 是同一个矩阵，这类映射就是群的同态。
现在应该清楚张量和矩阵是什么关系了，张量是张量，矩阵是矩阵，但二阶张量和矩阵之间有一个同态，所以可以用一个矩阵唯一的代表一个张量，并且张量间的运算法则在矩阵上也是保持的。
有点抽象，来举个具体的例子。以应力张量为例：
还记得上一篇中关于并失和矩阵表达式之间关系的推导吗？ 第二项的运算规则式将向量看作一个
的矩阵，按照矩阵的乘法进行相乘。那我们来看看应力张量基的矩阵是什么？
同理，可计算出其他基的矩阵表达式，然后把系数乘进去，再把矩阵按照矩阵的加法加起来。
这下是不是就很清楚为什么
顺便说一句，这里若熟悉矩阵分解的同学可能会发现，这个过程很类似于将一个秩为 3 的矩阵分解为秩为 1 的矩阵的线性组合。
上篇末尾的结论中， 可能有同学也发现了，并失按照所定义的规则对应成的矩阵是一个秩 1 矩阵，为什么呢，矩阵的秩是矩阵中线性无关的行向量或列向量的个数，明显上述矩阵中线性无关的行向量和列向量的个数为1，同时矩阵的秩也是矩阵所代表的线性映射值域的维数，所以一个并失会将3维空间中任意一个向量映射到一个特定的直线上，这个从并失的定义也能看出来，
，所有作用后的结果都和
平行。
这次先写到这，若点赞量高的话，我会给出同态的具体证明过程。下次见。
