上期我们复习了晶体、晶体结构和空间点阵等知识，本期讲解上海交通大学版《材料科学基础》第2章内容：固体结构，包括晶向、晶面等知识。

01何为晶面指数？

晶面：空间中不在一直线的任三个阵点构成的平面，晶体内的原子层面叫做晶体的晶面。

晶面指数：表示晶面方位的符号。

02晶面指数如何确定？

确定晶面指数的步骤如下：定原点→求截距→取倒数→化最小整数→加圆括号 ( )

①建立一个空间直角坐标系，坐标轴分别为a，b，c；坐标原点不能在待标晶面上。

②求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z；

③对所求截距取倒数得1/x，1/y，1/z；

④将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l；

⑤再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。

用三指数表示的晶面指数又叫米勒指数（Miller indices）。

对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指数，这些结晶学上的等价面就构成一个晶面族，晶面族用花括号{hkl}表示。

确定晶面指数时应注意哪些问题？

①坐标系可以任意平移，若旋转需要遵守左手法则。

②坐标系原点可以选在任何结点上（例如晶体的顶点、体心、或是面心），但一定不能选在待标定的晶面上，否则晶面在该坐标系上的截距就是0,0,0。

③三个指数同乘以-1，则晶面不变。（111）与 （-1-1-1）相同。

④如果晶面平行于哪个轴，则相应的那个指数为0。

晶面族特点：

（1）对于立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的属同一晶面族；

（2）一个晶面指数代表一系列相互平行的晶面；

（3）一个晶面族代表一系列性质地位相同的晶面。

03何为晶向指数？

晶向：空间点阵中节点列的方向。空间中任两节点的连线的方向，代表了晶体中原子列的方向。

晶向指数：表示晶向方位符号。常用的标定晶向指数的方法一般有两种，分别是坐标法和行走法。

04晶向指数如何确定？

（1）用坐标法确定晶向指数的步骤：定原点→建坐标→求坐标→化最小整数→加方括号[ ]

①建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上；

②在该待测晶向上找到另一点，并求出该点的坐标u，v，w；

③将坐标数按比例化为最小的整数，放在一个方括号中，就得到该晶向的晶向指数。

（2）用行走法确定晶向指数的步骤：

①建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上；

②从原点出发，分别沿着各坐标轴方向行走，最后落在待测晶向上的另一点；

③将延三个坐标轴方向行走的距离化为最小的整数，放在方括号中，就得的该晶向的晶向指数。

对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族，晶向族用尖括号表示。

晶向族特点：

（1）立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的属同一晶向族；

（2）一个晶向指数代表一系列相互平行、方向相同的晶向；

（3）一个晶向族代表一系列性质地位相同的晶向。

05实战演练

怎样去写出一个晶面族（或晶向族）的所有晶面（或晶向）？

这其实是概率论的排列组合问题。

首先来一小段概率论的排列组合知识，已熟悉可以略过

有123个房间，abc三个人，每人一个房间，有多少种组合?

假设a先选，这个时候a有3个房间可以选。a选完之后，b再选，那么b有2个房间选。c最后选，只有1个房间可以选。因此最后他们的房间组合数是3×2×1=6种。（如果改为b或c的先选择同样是6种组合）

即：

接下来进入正式的环节——

①以{123}晶面族为例：

数字123在3个位置的排列同样是有3×2×1=6种。

在晶面中还包括了负数，但是，（123）和（-1-2-3）互为相反数，它们代表一组相互平行、方向相反的晶面。（-123）和（1-2-3）互为相反数，因此我们先只考虑带负号和不带负号，不考虑带负号个数。

那么这样对于一组（123）晶面来说，它又可能有不带负号和负号分别在1、2、3位加起来4种，也就是（123）、（-123）、（1-23）（12-3）。6种排列的每一种当中都可能有4种排列，因此最后是24种排列。这24种排列还有各自对应的相反数，于是一共是48种排列。3×2×1×4×2

即：

（按照排列的顺序写晶面族包含的晶面条理清楚不会出错）

②{111}型有（111）、（-111）、（1-11）、（11-1）4种，再加上相反数，一共8种。

③{110}类型看0的位置，分别在123位，即（011）、（101）、（110），此外，负号位置不同互为相反数，即（0-11）=-（01-1），负号只有存在与不存在两种情况，因此一共有3×2×2=12种排列。

④{100}类型看1的位置，分别在123位，即（100）、（010）、（001）。由于有两个0，负号存在与不存在互为相反数，即（100）=-（-100），因此一共有3×2=6种排列。

⑤{120}类型，位置排列3×2×1=6种，由于0的存在，负号位置不同互为相反数，即（1-20）=-（-120），因此一共有3×2×1×2×2=24种排列。

{112}类型看2的位置，有3种情况，负号有不存在和位置不同一共4种情况，即（112）、（-112）、（1-12）、（11-2），因此一共有3×4×2=24种排列。

总结

{123}/{abc}类型：48个。3×2×1×4×2

{111}/{aaa}类型：8个。4×2

{110}/{aa0}类型：12个。3×2 ×2 {100}/{a00}类型：6个。3×2

{120}/{ab0}， {112}/{aab}类型：24个。3×2×1×2×2，3×4×2

晶向族的情况与晶面族一样，只需要把符号{ }、（ ）改为< >、[ ]。

06重要思考题

写出立方晶体中晶面族{100}，{110}，{111}，{112}等所包括的等价晶面。

（欢迎留言写出你的答案）

07易错题分享

（答案下期见）

上期答案

（1）为什么没有面心单斜点阵、底心正方和面心正方点阵？

可以从两个方面来解释这一问题：

①如图9（a）所示，底心正方点阵可以连成一个体积更小的简单正方点阵；同样，如图9（b）所示，面心正方点阵可以连成一个体积更小的体心正方点阵。因此不存在底心正方。

②如图10（a）所示，由简单正方点阵可以构成一个底心正方点阵；同样，如图10（b）所示，由体心正方点阵可以构成一个面心正方点阵。因此不存在底心正方点阵和面心正方点阵。

面心单斜点阵可以构成一个更小的简单单斜点阵，底面类似图10（b），然后和面心原子组成一个更小的简单单斜点阵。

（2）为什么密排六方结构不能称为一种空间点阵？

答案：空间点阵中每个阵点应具有完全相同的周围环境，而密排六方晶胞内的原子与晶胞角上的原子具有不同的周围环境。在A和B原子连线的延长线上取BC=AB，然而C点却无原子。若将密排六方晶胞角上的一个原子与相应的晶胞内的一个原子共同组成一个阵点（0，0，0阵点可视作由0，0，0和2/3，1/3，1/2这一对原子所组成），如图11所示，这样得出的密排六方结构应属简单六方点阵。

（3）试证明四方晶系中只有简单四方点阵和体心四方点阵两种类型。

答案：可作图加以证明四方晶系表面上也可含简单四方、底心四方、面心四方和体心四方结构，然面根据选取晶胞的原则，晶胞应具有最小的体积，尽管可以从4个体心四方晶胞中勾出面心四方晶胞（图12（a）），从4个简单四方晶胞中勾出1个底心四方晶胞（图12（b）），但它们均不具有最小的体积。因此，四方晶系实际上只有简单四方和体心四方两种独立的点阵

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