一些常见的超越积分
耦合的电子
编辑于 2022年06月18日 01:20

最近在尝试验证正态分布函数与x轴围成的面积为1的时候遇到了困难，经过查阅教材得到一些结论。

先给出正态分布函数的解析式f(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%20%5Csigma%7D%20%5Cexp%20%5Cleft(-%5Cfrac%7B(x-%5Cmu)%5E%7B2%7D%7D%7B2%20%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%5Cright)

正态分布函数图像

理论上来讲，这个函数图像与x轴围成的面积应该是1，并且任意一段区间事件发生的概率应该是函数在这个区间的定积分。

我们先说函数与x轴围成的面积为1的证明

f(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma%20%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%7D%20%5Ccdot%20e%5E%7B%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%7D

%5Cbegin%7Baligned%7D%0AI_%7B1%7D%20%26%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20f(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20x%20%5C%5C%0AI_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20%26%3D%5Ciint_%7BR%5E%7B2%7D%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%202%20%5Cpi%7D%20e%5E%7B%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7By-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%5Cright%5D%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20x%20%5Cmathrm%7B~d%7D%20y%0A%5Cend%7Baligned%7D

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Ax%3D%5Cmu%2B%5Csigma%20a%20%5Ccos%20%5Ctheta%3D%5Cphi_%7B1%7D(a%2C%20%5Ctheta)%20%5C%5C%0Ay%3D%5Cmu%2B%5Csigma%20a%20%5Csin%20%5Ctheta%3D%5Cphi_%7B2%7D(a%2C%20%5Ctheta)%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.

（上面这一步骤运用的是极坐标积分换元法)

%5Coperatorname%7Bdet%7D%20%5Cmathbf%7BJ%7D%3D%5Cleft%5C%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5C%7C%3D%5Csigma%5E%7B2%7D%20a

%5Cbegin%7Baligned%7D%0AI_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Cpi%7D%20%5Ccdot%202%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%20%5Cpi%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Ctheta%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20e%5E%7B-%5Cleft(%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%20%5Cmathrm%7B~d%7D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A%26%3D1%3DI_%7B1%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D

这些证明所需的理论知识已经超出笔者的知识范畴，就不解释证明原理了

然后我们进入正题，当我尝试求解正态分布函数的不定积分的时候遇到了困难，无论我使用什么方法，最终总是会求到下面这个东西

%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20e%5E%7B-x%5E%7B2%7D%7D%20d%20x

它有什么特别之处呢？如果你身边有草纸，可以尝试求一下这个积分，你就会发现这个积分无论怎么运算都无法化简为初等函数，是不是很神奇？

经过查询资料，这个函数的积分，也就是%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20e%5E%7B-x%5E%7B2%7D%7D%20d%20x属于超越积分的范畴，是不可能化简为初等函数的，只能通过数值积分求近似解。

还有一些常见的超越积分我都一并列在下面：

%20%5Cint%20e%5E%7Ba%20x%5E%7B2%7D%7D%20d%20x(a%20%5Cneq%200)%20%0A%20

%20%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%20d%20x%20

%20%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7Bx%7D%20d%20x%20

%20%5Cint%20%5Csin%20%5Cleft(x%5E%7B2%7D%5Cright)%20d%20x%20

%20%5Cint%20%5Ccos%20%5Cleft(x%5E%7B2%7D%5Cright)%20d%20x%20

%20%5Cint%20%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%7D%7D%7B%5Cln%20x%7D%20d%20x(n%20%5Cneq%201)%20

%20%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7Bx%2Ba%7D%20d%20x(a%20%5Cneq%200)

%20%5Cint(%5Csin%20x)%5E%7Bz%7D%20d%20x(z%20%20%E4%B8%8D%E6%98%AF%E6%95%B4%E6%95%B0%20%20)%20

%20%5Cint%20d%20x%20%2F%20%5Csqrt%7Bx%5E%7B4%7D%2Ba%7D(a%20%5Cneq%200)%20

%20%5Cint%20%5Csqrt%7B1%2Bk(%5Csin%20x)%5E%7B2%7D%7D%20d%20x(k%20%5Cneq%200%2C%20k%20%5Cneq-1)%20

%20%5Cint%20d%20x%20%2F%20%5Csqrt%7B1%2Bk(%5Csin%20x)%5E%7B2%7D%7D(k%20%5Cneq%200%2C%20k%20%5Cneq-1)%20

关于这些超越积分的计算方法有哪些呢？

第一个就是我们熟知的黎曼和形式去近似求解定积分

我们将函数和坐标轴围成的面积分割成一个个小矩形，再把他们加起来，如果分的足够精细，最终小矩形的面积和会趋向于定积分的真实数值

上矩形公式如下：

%5Cmathbf%7BI%7D_%7B%5Coperatorname%7Bappr%7D%7D%5Cleft(c_%7B1%7D%2C%20x_%7B1%7D%2C%20c_%7B2%7D%2C%20x_%7B2%7D%2C%20%5Ccdots%2C%20c_%7Bn%7D%2C%20x_%7Bn%7D%5Cright)%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cleft(x_%7Bi%2B1%7D-x_%7Bi%7D%5Cright)%20%5Csup%20%5Cleft(f_%7B%5Cleft%5Bx_%7Bi-1%7D%2C%20x_%7Bi%7D%5Cright)%7D%5Cright)

下矩形公式如下：

%5Cmathbf%7BI%7D_%7B%5Coperatorname%7Bappr%7D%7D%5Cleft(c_%7B1%7D%2C%20x_%7B1%7D%2C%20c_%7B2%7D%2C%20x_%7B2%7D%2C%20%5Ccdots%2C%20c_%7Bn%7D%2C%20x_%7Bn%7D%5Cright)%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cleft(x_%7Bi%2B1%7D-x_%7Bi%7D%5Cright)%20%5Cinf%20%5Cleft(f_%7B%5Cleft%5Bx_%7Bi-1%7D%2C%20x_%7Bi%7D%5Cright)%7D%5Cright)

关于数值积分的求法还有插值法和牛顿法等等，限于笔者的水平无法进一步介绍，本文如果有理论错误欢迎指正

笔者还在上高中，对高等数学仅有初步了解，理论知识难免有所差错，望多多包容

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