网格

结构化网格与非结构化网格

结构化网格，指整个域内的每个内部网格具有相同数量的相邻网格，这些网格可以用xyz方向上的下标ijk来标定，并可以直接通过下标的增减进行访问。

结构化网格

如图，当前内部网格为(i,j)，其上下左右网格必然为(i, j+1), (i, j-1), (i-1, j), (i+1, j)。

因此，结构化网格有着更低的内存使用，因为拓扑信息通过索引系统嵌入到网格结构中。 另外，结构化网格还可以提高编码、缓存利用率和向量化的效率。 另外，对于结构化网格来说，界面上的物理量可以简单的由相邻网格中心的物理量插值得到。

在非结构化网格系统中，元素是按顺序编号的，面、节点和其他几何数量也是如此。 应此，没有直接的方法将不同的实体仅通过下标联系在一起。

非结构化网格

当然，结构化网格的生成相对于结构化网格更加灵活，更容易生成贴体网格。因此，非结构网格的应用范围更广。

结构化网格和非结构化网格不是单纯按网格形状来分的，其更多的是指整体的网格划分策略。结构化网格一定是四边形或六面体网格，但四边形或六面体网格不一定是结构化网格。

均匀网格及网格变换

均匀网格指在xyz方向上均匀分布的网格，对2D来说，是正方形网格，对3D来说，是立方体网格。

有限差分只能在结构化网格上使用，且只有在均匀网格上才能保持其在理论上的精度。

对于其他结构化网格，若其通过一组数学变换变为均匀网格，那么有限差分也能在该网格上保持理论精度。

网格变换

有限差分法

有限差分示意图

把 (i+1, j) 处的物理量用 (i, j) 处的物理量进行泰勒展开：

此即向前差分。

把 (i-1, j) 处的物理量用 (i, j) 处的物理量进行泰勒展开：

此即向后差分。

如把两个泰勒展开式相减，可得中心差分格式：

另外，将两式相加可得二阶偏导的离散形式：

当然还有更高精度的差分格式，比如九点差分格式，其具有4阶精度。由于差分网格的均匀性，比较好构建高阶精度的差分格式。

热扩散方程的离散

传热学中常用的热扩散方程如下

这里不考虑内热源，并考虑2D空间，则有 

，为热扩散系数。

对时间取向前差分， 

对含时间项通常用向前差分，而不用中心差分。尽管中心差分有更高阶的精度，但是，用过去和将来的信息计算现在的信息是极不合理的。

并假设xy方向上网格间距是相等的（这是合理的，因为可以通过坐标变换达到这一目的），则方程按照取值的时间点可以分为显示或隐式格式。

显式格式

等号右边取当前时间点的物理量，并将当前时间点的已知量写在等号右边，未知量写在等号左边，则有： 

其中 

在传热学中，称其为傅里叶数。

等式左边的未知量只有1个，可以通过等式右边的物理量直接代数运算得到，故称为显式格式（explicit）

显式格式需要满足稳定性要求才可进行求解，即当前单元当前时间的值前面的系数需要大于等于0，对于本问题，即： 

隐式格式

等号右边的物理量取下一个时间点的值，其他处理同上，可以得到隐式格式（implicit）：

隐式格式需要联立各单元的方程，由方程组求解得到。隐式格式的求解没有稳定性要求。