一、什么是极坐标
在平面内取一个定点0，叫做极点。引一条射线OX,叫做极轴，这样就建立了一个极坐标系。对于平面内任一点M，记
如下图
（r，θ）就叫做点M的极坐标。
二、极坐标与直角坐标系的关系
两坐标系中变量之间的关系：
三、二重积分的极坐标转化
根据变量之间的关系，二重积分中被积函数的转化
于是，二重积分从直角坐标系转化为极坐标为
也可写成
在转化过程中有一个记忆窍门：
四、极坐标系下二重积分化为累次积分的三种情形
1.区域特征如下图：极点O在积分区域D外
极点在区域D之外，区域D可描述为
其中
θ 的积分限确定方法：积分区域D的边界与极点连线，连线与极轴正向的夹角最小值α为积分下限，最大值β为积分上限；
2. r 的积分限确定方法：从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，先穿过的曲线φ1(θ)为积分下限，后穿过的曲线φ2(θ)为积分上限。
因此二重积分转化为极坐标系下的积分为
2.区域特征如下图：极点在积分区域的边界上
极点在区域D的边界上，区域D可描述为
其中
θ 的积分限确定方法：积分区域D的边界与极轴正向的夹角，最小值α为积分下限，最大值β为积分上限；
r 的积分限确定方法：从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，由于极点在积分区域D的边界上，故 r的积分下限为0，射线会穿过曲线，此时曲线为积分上限φ(θ)。
因此二重积分转化为极坐标系下的积分为
3.区域特征如下图：极点在积分区域内
极点在区域D的内部，区域D可描述为
其中
θ 的积分限确定方法：极点在积分区域D的内部，所以积分下限为0，积分上限为2π；
r 的积分区间确定方法：从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，由于极点在积分区域D内，故r的积分下限为0，射线穿过曲线，此时曲线为积分上限φ(θ)
因此二重积分转化为极坐标系下的积分为
