（本文适合高中）

初等数论中的阶是一个十分重要的概念，有许多数学竞赛题目是依此而出的。与阶相对应的，还有“半阶”这个概念。所谓半阶，顾名思义，其实就是“阶的一半”。但是现有的竞赛辅导书上大多没有关于半阶这方面的知识，所以写下这篇关于半阶的学习笔记。

下面首先给出半阶的严格定义。

定义1：当时，若存在正整数使得，我们将满足该式的最小的正整数称为关于模的半阶。

注：半阶不一定总存在。例如，2关于模7的半阶就不存在。

下面给出几个关于半阶的基本性质。这些性质是平凡的，但在解决某些问题中可以发挥出巨大无比的作用。

性质1（半阶为阶的一半）：若关于模的阶为，半阶为，则。

证明：（阶的性质）

若，则，

而，这与的最小性矛盾。所以，从而。

注：若关于模的阶为奇数，则关于模一定不存在半阶；若关于模的阶为偶数，则关于模也不一定存在半阶（例如，考虑2关于模15的阶和半阶）。

性质2（常用）：设关于模的半阶为，若正整数使得则为的奇数倍。

证明：

且为奇数。

由上面的性质2，容易证明下面的一个重要推论。该推论在解题过程中常可作为引理给出。

推论3：设正整数，为的一个素因子，则。

证明：设关于模的半阶为，由性质2，则，且为奇数，从而。

又由Fermat小定理，

这里表示关于模的阶。

下面还有推论3的一个当时特殊情况，它给出了一个更强的结果。

推论4：设正整数，为（Fermat数）的一个素因子，则。

证明：因为

所以，由推论3知。

（未完待续……）