一元三次方程解法（卡尔达诺公式）

Zeta_s

编辑于 2022年11月29日 14:49

对于一元三次方程的一般形式

$ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%20%20(a%5Cneq0%20)$

两边同除以 $a$ ，并把 $x%3Dy-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%20$ 带入到原式中（目的是消去二次项，可以类比二次函数，因为二次函数对称轴为 $-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%20$ ，即通过平移将一般的一元二次方程化为特殊的关于y轴对称的特殊形式 $Ax%5E2%3DB$ ）

$(y-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%20)%5E3%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20(y-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%20)%5E2%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20(y-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%20)%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%20%3D0$

对于这一步更精确的证明：

$%E4%BB%A4f(x)%3Dax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd$

因为拐点处函数的二阶导数等于0，所以令 $%5Cddot%7Bf(x)%7D%3D0%20$

$%E5%8D%B36ax%2B2b%3D0$ ，解得 $x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%20$ ，即为三次函数的平移量

继续展开上式，得

$y%5E3%2B%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7D%20y%2B%5Cfrac%7B2b%5E3-9abc%2B27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D%20%3D0$

至此，把一元三次方程变为了形如 $x%5E3%2Bpx%2Bq%3D0$ 的形式

$%E2%88%B5(u%2Bv)%5E3%3Du%5E3%2B3uv%5E2%2B3u%5E2v%2Bv%5E3$

$%5CRightarrow%20(u%2Bv)%5E3-3uv(u%2Bv)-(u%5E3%2Bv%5E3)%3D0$

由此看出对于三次幂的二项式展开，可以用 $u%2Bv$ 代替 $x$

$%E2%88%B4u%2Bv%3Dx%0A$

$p%3D-3uv$

$q%3D-(u%5E3%2Bv%5E3)$

可以得出

$u%5E6%2Bqu%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%20%3D0$

解得

$u%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%7D%20$

所以，可令 $u%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20$ ，那么 $v%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20$

$x%3Du%2Bv%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20$

到这一步，我们已经得到了当年卡尔达诺或者说塔塔利亚所得到的求根公式了，但根据代数基本定理：“在复数范围内，任何一个复数系数的一元n次方程至少有一个根。”

换句话说，一元n次方程有且仅有n个根。所以，下面将开始对其余两根的推导。

由韦达定理，

$x_%7B1%7D%2B%20x_%7B2%7D%2B%20x_%7B3%7D%20%3D0$

$x_%7B1%7D%20x_%7B2%7D%2B%20x_%7B1%7D%20x_%7B3%7D%2B%20x_%7B2%7D%20x_%7B3%7D%20%3D-3uv$

$x_%7B1%7D%20x_%7B2%7D%20x_%7B3%7D%20%3Du%5E3%2Bv%5E3$

$%E4%BB%A4x_%7B1%7D%20%3Du%2Bv$ ，可解得，

$x_%7B2%7D%2B%20x_%7B3%7D%20%3D-(u%2Bv)$

$x_%7B2%7D%20x_%7B3%7D%20%3Du%5E2%2Bv%5E2-uv$

再由韦达定理，构造一个一元二次方程，

$%5Clambda%5E2%2B(u%2Bv)%5Clambda%20%2Bu%5E2%2Bv%5E2-uv%3D0$

$%5Clambda%20_%7B1%7D%20%3Dx_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-(u%2Bv)%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B2uv%2Bv%5E2-4u%5E2-4v%5E2%2B4uv%7D%20%7D%7B2%7D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20$

$%5Clambda%20_%7B1%7D%20%3Dx_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B-(u%2Bv)%2B%5Csqrt%7B-3(u%5E2-2uv%2Bv%5E2)%7D%20%7D%7B2%7D%20$

引入虚数 $i%5E2%3D-1$ ，则上式可化为，

$%5Clambda%20_%7B1%7D%20%3Dx_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B-1%2Bi%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20u%2B%5Cfrac%7B-1-i%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20v$

同理，

$%5Clambda%20_%7B2%7D%20%3Dx_%7B3%7D%20%3D%5Cfrac%7B-1-i%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20u%2B%5Cfrac%7B-1%2Bi%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20v$

令 $%5Comega%20%3D%5Cfrac%7B-1%2Bi%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20$ ，易知它的共轭复根为 $%5Comega%20%5E2%3D%5Cfrac%7B-1-i%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20$

综上所述，卡尔达诺公式为，

$x_%7B1%7D%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20$

$x_%7B2%7D%20%3D%5Comega%20%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20%2B%5Comega%5E2%20%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20$

$x_%7B3%7D%20%3D%5Comega%5E2%20%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20%2B%5Comega%20%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%20%7D%20$

判别式 $%5CDelta%20%3D(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3$ ，

$%5CDelta%20%3E0%2C%E6%9C%89%E4%B8%80%E6%A0%B9$

$%5CDelta%20%3D0%2C%E6%9C%89%E4%B8%A4%E6%A0%B9$

$%5CDelta%20%3C0%2C%E6%9C%89%E4%B8%89%E6%A0%B9$

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