晶体中的薛定谔方程及其解得形式

       1单电子近似：

                    电子是在严格周期性排列且固定不动的原子核势场以及大量电子

的平均势场下运动

              意义1：

              将研究晶体中电子的状态问题从原子核-势场的混合系统中分离出来

              意义2：

       把众多电子相互牵制的复杂的多电子问题近似成为：对某一电子的作用，只是一个平均势场的作用。

势场的形式：

                     根据薛定谔方程：

                     以及周期性势场：

(单电子近似而得)

                     及布洛赫定理：具有周期性势场的薛定谔方程其解定为以下形式：

（其中s,n为整数；a为晶格常数）

讨论

       1：异同

  自由电子：

晶体中电子

同：

       其形式相似：都表示了一个波长为“1/k”沿着“k”方向传播的平面波

不同：

       晶体中电子的振幅为：周期性调制振幅，取代了自由电子中的恒定振幅“A”   

       2:波函数*波函数共轭 === 表示的是考察的对象在空间各处出现的几率

              对自由电子：等几率出现

             对晶格中的电子： 晶体中找到该电子的几率具有周期性变化的性质

                                           上文中，u(x)是以晶格常数a为周期的

那么：电子不再属于某一个原子，而是可以从一个原子“自由”运动到另一个原子去，而运动的目的地由“a”来决定，即运动到对应晶胞or其他晶胞的对应点上。

                                       此即为：电子的共有化运动

（在晶胞的对应点上等几率出现）

 Tips：

       驻波：频率相同，传播方向不同的波

       驻点：波动过程中不动的点

两种极端情况：

              准自由电子近似：自由电子在势场为0的情况下，其能量状态关系是连续的e-k关系——抛物线形式

那么半导体中的电子状态：

              设想将电子“放入”晶体中，由于晶格的存在，电子波在传播过程中遭到反射，一般情况下，各反射波相互抵消，对其前进无重大影响（一般）

              但当满足布拉格反射条件时，（前行波和反射波满足一定条件时），会形成驻波（特殊）。

              则，综合而言：定态一定为驻波。

       一维晶体为例:

                     其布拉格反射条件满足：k=n/2a，（n=+-1；+-2）（k:波矢）而将满足这条件的相关点在上图中标出，则可得上图所示点——驻点

                     这些点上，即K=n/2a上电子的速度是

                    而该式=0，意味着微分算子一项=0.那么由其几何意义来看，是e-k关系的斜率为0. 那么它的e-k关系图就会变为如下图所示：

       其中，-1/2a~1/2a为第一布里渊区，以此类推。

       根据量子力学，电子的运动可以看作是波包的运动，且波包运动的群速度就是电子运动的平均速度，设波包频率为v，则电子运动的平均速度：dv/dk；又E=hv，联立解得

              紧束缚近似：从孤立原子核外电子的状态，（晶体是由原子or离子不断靠近到一定程度而形成），

                            靠拢—>导致电子的共有化运动->不再长时间停留在某一个原子的固定状态上 而停留有限时间Δt->根据“测不准”，能量ΔE和具有能量的时间Δt是一对测不准量

三大原理：

              测不准原理；位置δx~动量δp；能量δE~具有这个能量的时间δt

              能量量子化；e=hμ

              泡利不相容；

孤立原子的情况下，电子属于该原子，那么Δt趋于无穷，Δe趋于0，

       意味着：能量没有区间，是确定值，那么意味着是“能级”

晶体中电子停留有限时间，意味着，Δt为有限值，对比孤立原子情况，Δt下降，ΔE增加       即：能级展宽成能带。      （共有化运动）（共有化运动中，外层电子更加早的进行运动（更剧烈），因此如图所示）

晶体中电子的状态，既不同于自由电子的连续的e-k关系；也不同于孤立原子核外电子的状态（能级）；而是形成一系列相间隔的允带和禁带。

而书中在此处的“简并”则为：

3.布里渊区and能带

（一维情况下）

     1： 在k=n/2a（n=0，+-1，+-2）能量出现不连续，形成了一系列相间隔的禁带和允带，k=n/2a，禁带出现在此处，也即布里渊区的交界处。

     2：一个布里渊区对应一个允带or能带。（由准自由电子近似而得）

     3：e-k关系是周期性的，若要用解析式来表达：

     4：第一布里渊区又称为：简约布里渊区，因为e-k关系是周期性的，所以只需要讨论第一布里渊区。

                                                               推广到二维

                                                               推广到三维

（<1/2a）

（x）

该图中，出现周期性势场，其由来：

       众所周知，晶体当中的薛定谔方程其中的势场一项是周期性势场，若给出周期性势场的具体形式，那么就可以解出来。

       那么又根据已知结论：晶体中的势场为：

称其为“势阱“

同时，在图（x）的基础上，晶体中原子是周期性排列的，那么晶体中电子的ek关系，也应该为周期性的，而其周期化则是将布里渊区：

其中连续的曲线延续下去，（如图，左右曲线分别平移，形成连续曲线，之后继续延展即可）

图（a）：虚线：准自由电子近似的e-k关系；

图（c）：只考虑第一布里渊区的情况，更为精确的情况如下图

下图中红线：若在该e-k关系图中k可以连续取值，那么允带中的能量也是连续的，反之不然。

4）能量中的量子态数（一个允带中k的取值方式，取值数量）

       边界条件

      一个布里渊区内k的取法

一维晶体下：伯恩卡曼边界条件（循环边界条件），晶体是首尾相连的，起始晶体和结尾晶体的状态完全相同。

（N：晶体由N原子组成，a：晶格常数（此处有Q））

                                       且：2πki = 2πn（n = 0，+-1，+-2…）

则可以解出：

推广到三维：

从中可以得出，波矢k的取值并不连续，

波矢k取值总在红点点上

波矢k不连续；取值在由kx，ky，kz组成的k空间上均匀分布，且是量子化的；

那么可以得出，允带中仍有分裂能级，其数量取决于波矢k的取值。