1、功率谱密度

功率谱密度（Power Spectrum Density，PSD）是一种计算信号各频段功率的方法，它的单位是瓦特每赫兹（）或使用电压表示为   。信号  的功率谱密度的定义如下：

其中自相关函数  ，  为函数的期望，  为  的复共轭。

   采用周期图法对EEG信号的功率谱密度进行计算，其具体过程为：对于一个长度有限的非连续信号  ，先进行离散傅里叶变换，其公式为：

式中  ，  。其中  具有周期性，所以  也具有周期性，其周期大小为  ，然后将求得的  求其幅值的平方并除以  得到功率谱密度：

   不同频段的功率谱表示的信号在特定频段的功率分布。EEG信号有如下的频段：0.5~4 Hz，  波；4~8Hz， 波；8~13Hz，  波；13~30Hz， 波；30Hz~Nyquist频率，  波。考虑到EEG的主要频率集中于100Hz以下，舍弃了100Hz以上的频段，同时为了避免工频50Hz的干扰，同样舍弃了49~51Hz和99~100Hz的谱功率。因此在信号特征提取部分，需要计算的谱功率的频段范围是0.5~4 Hz，4~8Hz，8~13Hz，13~30Hz，30Hz~48Hz，52~75Hz，75~98Hz共7个频段。

   原始EEG信号的谱功率可以通过使用功率谱密度函数计算窗口EEG信号获得。通过假定原始EEG信号具有统计上的平稳性质，可以计算它的功率谱密度。使用长度有限的窗口对EEG信号进行分割可以提高它的平稳性，同时窗口必须有足够的长度可以获得有用的脑电信息。为了获得特定频段的谱功率，只需通过功率密度函数计算得出。各频段的谱功率可以通过绝对值或者标准化的形式表示出，其中绝对值形式表示如下：

其中  是第  频段的谱功率，  表示窗口化的原始EEG信号，  为频段的序号， 为信号的谱功率密度。对于一个给定的频段的标准化谱功率可由该频段的谱功率和总功率的比值获得：

2、功率谱密度能量图

   通过PSD分析可以体现出脑电信号的能量变化，使用这一特性我们提出了癫痫脑电信号特征提取图方法，称为功率谱密度能量图（Power Spectrum Density Energy Diagrams，PSDED）。通过在EEG频域中的能量来提取相应的特征，PSD可以表示信号功率在频域的分布。对 个通道EEG信号，通过将EEG等分成32个频段，不同频段的PSD函数进行积分，最后组成一个 的二维矩阵，将得到的二维矩阵进行归一化处理，并生成能量图

3、双谱分析

   功率谱分析能有效地反映信号的二阶信息, 却丢失包括相位信息在内的高阶信息, 而这些信息对EEG信号分析有意义。针对这种问题, 可采用双谱分析的方法进行解决。在双谱分析方法中定义双谱密度函数为：

其中，  为平稳随机过程  的三阶中心矩：

其中， 是  的均值。

   双谱函数只是包含信号的相位信息，但未给出相位信息，研究采用模型分析法通过线性系统模型的特性来实现，因此相位特性亦可通过研究系统的相位特性来完成。对高斯随机信号而言，双谱作为随机信号偏离高斯分布的一个测度，经过对实际 EEG 数据检验表明，不同功能状态下的EEG对高斯性的偏离度有较大差别。双谱分析可以观察信号各频率分量之间的相关性，双谱分析要求信号至少三阶平稳, 因此对短数据EEG信号才有意义。

4、小结

   经典的谱估计方法是直接按定义用有限长数据来估计，即以短时间数据的傅里叶变换为基础的周期图法，参数模型估计方法对数据处理能得到高分辨率的谱分析结果。

   相比谱功率的绝对值形式，标准化的谱功率减小了总功率的改变对某一频段的谱功率的作用，而绝对值完全依赖于信号的总功率。由于EEG信号的功率会随着病人日常生活因素而发生变化，因此其绝对值会很容易发生改变，因此推荐使用标准化的谱功率密度提取脑电特征信息。

   功率谱分析虽然可以有效地反应信号的二阶信息，却丢失了包括相位信息在内的高阶信息，对于高斯随机分布而言，双谱可以作为随机信号偏离高斯分布的一个测度，对EEG信号分析很有意义。

5、参考（Reference）

[1] 许崇涛,沈民奋,李慧,朱国平.双谱分析方法在脑电信号分析中的应用[J].   中国行为医学科学. 2004(03)

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