大家好，我是Jerry.

今天我要讲竞赛几何中如何建系计算。

需要提前知道的知识：

（1）坐标系中中点坐标表示；

（2）垂直的直线斜率之积为-1

（3）有关圆在平面直角坐标系中的方程

（最好把高中“直线与圆”的一章学完，对建系有不少帮助哦）

So let's get started!

PART 1：TIPS

Tip 1：

在建系过程中，决定原点在哪里，通常是个需要精心考虑的事。

一般找原点的原则是旁边要有2个垂直的线段。（方便确定x轴/y轴）

因此以下的图形非常适合建系：

正方形，矩形，直角三角形。

以下图形同样可以建系（由于它们的一些对称性或隐含的垂直或坐标表示很简单）：

等腰三角形，等边三角形，菱形，平行四边形，圆。

（等腰三角形：以底边中点为原点）

（平行四边形：一个顶点+一条边为x轴）

（菱形：对角线交点）

Tip 2：

在建系中，一般可以将某些线段的长度设为1而简化运算。（如果题目没有给出具体的长度条件）

Tip 3：

建系是下策，如果可以用纯几何做法就用纯几何做法，毕竟建系对于计算的要求能力很高。

Tip 4：

建系中，我们能够较易表示的东西有：

中点，垂线，平行线，圆，直线

我们可以利用建系解决的问题有：

垂直，平行，三点共线，三线共点，线段长度关系......

PART 2：例题

题1：

刷子几何

注意到本题基本图形是等腰三角形，所以不妨以点D为原点，DC为x轴正半轴建系。

设：B(0,1),C(a,0),A(-a,0)

则在Rt△BDC中可以解得（简单的相似易得）：

太美丽了，我爱word的公式

进而不难得到点F的坐标，最后算得AE与BF的斜率：

打得累死了

易得其斜率之积为-1，则AE⊥BF。

（建系除了计算量有亿点点大，其余都OK，思路特别清晰。）

题2：

2017年初中数学联赛试题：

如图，△ ABC 中， AB＞AC，∠BAC=45°，E是∠BAC 的外角平分线与△ ABC 的外接圆的交点，点F在AB上且 EF⊥AB.已知 AF=1，BF=5，求△ ABC 的面积.

图片有点大

我原本做这题的时候，没有了解过什么阿基米德折弦原理（可以去了解一下），因此最后我一怒之下用建系的方法做了这题。

首先，我们不难得到∠AEF=22.5°，则稍稍得解一下△AEF得到EF=√2 + 1.

这时候我们不妨以点F为原点，FA为x轴正半轴建系，则：

A(1,0),B(-5,0),E(0,√2 + 1)

设△ABC外接圆Ω：x²+y²+Ax+By+C=0（圆的方程的标准式）

然后代入三个点的坐标解得：

Ω：x²+y²+4x+(4√2-6)y-5=0

又因为∠BAC=45°，则AC斜率为1，经过点(1,0)

所以AC：y=x-1

随后解得联立直线和圆的方程，解得：

C(-2√2+1,-2√2)

∴S△=1/2*AB*h

=1/2*5*2√2

=5√2

用建系做这道题真的很简单！

用建系时，一定要找好原点，而且计算千万不能错！！！

有几何方法那就别用这种方法。

希望你们可以通过这篇文章学到什么！

拜拜！

记得点赞！

额外内容：

其实据说对于几何题，除了建系可以蛮算，三角法也可以，而且甚至更好用，更灵活，而我对三角法不了解，不会用（我会高中所有的三角恒等变换内容以及正余弦定理）。所以如果有大佬看见了，请帮我写一篇文章or发一个视频or发一个讲这种方法的文章的链接！

Thanks！