在学习之前请确保你已经知道直线和圆锥曲线的基本知识

        相信不少高中生学习解析几何的时候都会遇到求某个直线或者曲线方程的问题，这时候经常需要找到图形经过的点的坐标。然而，可恶的出题老师往往不直接告诉你坐标，而是先给你一些条件，比如告诉你这个点是两条直线的交点，再让你自己求出坐标。但是联立解方程的过程有时候很麻烦，还容易算错，那么，有没有什么方法可以减少计算量，更快的得到未知图形的方程呢？答案是肯定的，它就是曲线系方程。

曲线系方程法只要说清楚是可以在考试中使用的，所以学了绝对不亏噢！

一、直线系方程

1、引入

        直线系也可以认为是曲线系的一部分，而且是最简单的一部分。其实直线系并不陌生，比如下面这种题你一定经常见到。

例1：

已知直线l：x(λ+2)+y(λ-1)+(4-λ)=0，求l过的定点。

这时候我们会把这个直线方程配成2x-y+4＋λ(x+y-1)，联立2x-y+4=0和x+y-1=0，可知过定点A(-1,2)。

       不知道你是否想过，为什么要把方程配成这样的形式？为什么联立这两个方程就可以解出定点呢？

        一个比较简单的理解就是，如果我们把2x-y+4=0和x+y-1=0看成两条直线方程，由于A是两线交点，故两个方程都满足。所以把A的坐标代入一定可以使两个方程都成立，进而原先直线的方程也就能成立，因此方程必过定点A。

为了方便，以下文章中所有平面方程均表示为函数的形式。例如直线l：Ax+By+C=0写成l(x,y)=0

        这给了我们一个启发。如果有两条直线l₁(x,y)=0，     l₂(x,y)=0存在交点P。那么我们可以大胆地设出一个方程l：l₁(x,y)+λ[l₂(x,y)]=0，跟例1同样的道理，这两条直线交点一定可以使该方程成立，故P在l上。再加上我们引入了一个λ来控制直线的斜率(请注意λ和斜率有关但不等于斜率)，那么l表示的就是经过P的“所有”直线的方程。哪怕是斜率不存在的直线，也可以找到合适的λ表示出其方程。l表示的是无数条直线方程，这就是直线系方程。

2、应用

        直线系方程使用起来不如其他系方程的优势大，因为很多时候直接解方程也不会慢多少。这里就给一道比较典型的例题。

例2：

已知直线l₁：2x+y-3=0，l₂：x-3y+2=0与l三线共点，且l过原点，求l的方程。

例2

设l：2x+y-3+λ(x-3y+2)=0，则保证三线共点，又因为l过(0,0)，代入可解得λ=3/2。再把λ代入方程，化简得l：y=x。

这题常规解法自然是先解出交点，再利用两点式(或点斜式)写出l方程，最后化简。比较一下，显然直线系方程法的步骤会少一些，计算量也相对较少。然而，圆系方程上体现出来的这种优势更大。

二、圆系方程

1、已知直径端点求圆方程

         两个直线方程加起来，当然还是一条直线。而圆的方程，则可以是一个圆方程和一个直线方程相加减，也可以是两个圆方程相加减。

         其代数表示为圆C：C(x,y)+λ[l(x,y)]=0，或圆C：C₁(x,y)+λ[C₂(x,y)]=0。

         从这里可以看出，设圆系方程时至少要已知一个圆的方程，但是求圆方程的题目中有时候不一定会有现成的圆方程，所以我们要掌握根据点坐标写出圆方程的能力。

        先给出结论：已知A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，那么以AB为直径的圆方程为(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0。

圆的直径方程

        证明也很简单，只要假设圆上有一点P(x,y)，根据向量PA 与向量PB的数量积为0，写出P的轨迹方程即可证明。我这么说只是为了把它用在圆系方程时便于大家理解，但实际上在考试中不需要证明这个结论，原因看完下文你应该就能明白。

2、应用

例3（过三点求圆）：

已知圆M与l：x-y+1=0交于两点A(-1,0)和B(0,1)，且       C(1,0)在圆M上，求M的方程。

例3

想象A，B是以AB为直径的圆和l的两个交点，即有圆M过圆：x(x+1)+y(y-1)=0和l：x-y+1=0的交点。为了计算方便，我们选择把λ设在直线的方程前。所以设圆M：x(x+1)+y(y-1)+λ(x-y+1)=0，则圆M必过A，B。

又因为C在圆M上，所以把C坐标代入解得λ=-1。再把λ代回方程中，化简可得圆M：x²+y²=1。

         显然比起设圆M：x²+y²+Dx+Ey+F=0，再分别代入三个坐标，然后解三元方程的方法要简单不少。

例4（知切点求圆）：

已知过A(2,1)的圆C与直线l：2x-y+2=0切于点B(0,2)，求圆C的一般式方程。

例4

仿照例3，我们可以认为圆C与l的两个交点重合即为相切。所以设圆C：x²+(y-2)²+λ(2x-y+2)=0，则圆C必与l相切于B(0,2)。

又因为圆C过A(2,1)，代入坐标并解得λ=-1。故圆C：x²+y²-2x-3y+2=0。

        在这题中，圆系方程的优势很明显，如果使用常规解法的话将会复杂得多，你可以自行进行比较。

例5（交点弦方程）：

已知圆M：x²+y²+5x-2y-20=0和圆N：x²+y²-x+5y-8=0交于A，B两点，求直线AB的方程。

例5

我们可以先忽略AB是条直线的事实，假设过A，B的圆l方程为：x²+y²+5x-2y-20+λ(x²+y²-x+5y-8)=0，则圆l必过A，B。

当圆l退化为直线时，则圆l的方程即为直线AB的方程。要使圆l退化为直线，则x²和y²前的系数均为0，显然此时λ=-1。故AB：6x-7y-12=0。

         很明显，比起直接算交点的方法，圆系方法简单了数倍。交点弦方程的证明方法还有很多，圆系方程法也可以视为其中的一种。为什么把两个方程相减就可以得到交点弦方程？实际上，圆系方程就是对其最本质的理解。

        我对于曲线系方程法的理解就是少算多想，如果合理使用这种方法，既可以在考试中节约不少时间，又可以减速计算错误的风险。

        曲线系还包括椭圆，双曲线和抛物线。自然，越是复杂的曲线中，使用曲线系方程法解题的优势就越明显。关于其他曲线的使用方法我会在下一期专栏中再讲。所以……点个关注不迷路啊！如果这篇文章对你有所帮助，记得留下你的三连！！！