瞬时功率的计算推导方式有很多种，通过阅读大量文献之后，本文列举出了个人认为比较好理解的方式分享给大家。

电路中学过，可以通过UIcos  UIsin的形式来求得平均功率，但是我们在进行电力电子控制时，往往用到瞬时功率，即使用到平均功率也想直接通过电压电流的瞬时值进行求解，因为如果用平均公式去求的话要得到电压和电流的幅值或平均值以及角度差，这样比较麻烦。

所以，利用电压电流的瞬时值来求得的功率通常称为电路的瞬时功率，但它的值是等于平均功率的，下文会分析，可以直接通过瞬时值求得它的平均功率。

下面分别推导一下在abc轴，alpha beta轴，以及dq轴下的三相瞬时功率，并分析在不同坐标变换模式（等幅值变换、等功率变换）下的瞬时功率的形式。 

推导之前先做些铺垫：

单相电路：

看一下对于单相电路，直接用瞬时电压和瞬时电流相乘得到的是什么？

在单口网络工作于正弦稳态的情况下，端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流，即：

其瞬时功率为：

周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，如下：

由此可见，单相电路的瞬时功率在平均功率的基础上叠加了幅值为电压电流有效值乘积的二倍频分量，仿真分析如下：

电压和电流的参数设置如上：UI=1*1/2=0.5。平均功率：P=UI*cos(pi/3) = 0.5*0.5=0.25W;

瞬时功率结果在0.25的基础上叠加了幅值为0.5的二倍频分量，和分析结果一致。由此可得，如果直接用以上方法去求单相电压电流的瞬时功率，会产生幅值很大的二倍频分量。所以上述单相电路的瞬时功率并没有使用价值，如何用电压和电流的瞬时值求得单相电路的平均功率那？下面会提到。

三相对称电路：

将三相瞬时电压和瞬时电流分别对应到abc坐标系上，如下图，

用矢量表示为：

由瞬时复功率的定义可得：

但是abc是三相的，所以需要用静止坐标系下的等功率变换，将三相变换到两相才能代入上述复功率公式进行计算。

由上文分析：等功率变换矩阵为：

所以原来的电压和电流矢量可表示为：

代入复功率公式可得：

将上式前半部分展开可得：

由于是三相对称正弦信号，将下式代入得：

同理，将后半部分展开可得：

通过上面推导就可以得到三相有功无功的瞬时功率计算公式：

设电压电流如下式所示：

则，根据上面瞬时功率公式，得到各相的瞬时功率：

那么总的瞬时有功功率为：

三相线电压线电流为（这里考虑的是星型接法，三角形接法道理一样的）：

那么各相的瞬时无功功率为：

则总的无功功率：

对称三相电路的平均功率：

三相电路每相平均功率：

对于对称三相电路，则三相总的平均功率应为每相平均功率之和：

φ为相电压与相电流的相位差（阻抗角），不是线电压与线电流的相位差；如果用线电压表示则再除以sqrt(3)即可，因为本文只用到相电压，不再赘述线电压的情况。同理平均无功功率为：

由此可见三相电路的瞬时功率和平均功率均相同。可见三相对称电压的瞬时功率就等于它的平均功率，等于常数。通过电压电流的瞬时值就可以计算它的瞬时功率和平均功率。

下面看两相静止坐标下的瞬时功率：

设等功率变换后，两相静止坐标系下的电压和电流矢量分别为：

代入复功率公式可得：

写成矩阵的形式如下：

两相旋转坐标系下的瞬时功率公式：

电压电流矢量可表示为：

那么代入复功率公式如下：

写成矩阵的形式如下：

这两种坐标系的公式和坐标系的初始位置模式是没有关系的，只要这里的坐标系对应复数中实轴和虚轴的角度位置关系即可，就是虚轴超前实轴90度，那么这里beta轴和q轴就对应虚轴，所以beta轴要超前alpha轴90度，同理，q轴超前d轴90度，只要满足这里的角度关系，公式就是上述公式，和初始位置没关；但如果取d轴超前q轴90度的形式或alpha轴超前beta90度的形式，上述公式的下标就要颠倒一下了，但这种模式不符合我们的使用习惯。详细分析可以看视频。

上面公式对应的是恒功率变化形式，若为恒幅值变换，只是改变公式的系数即可，由上文分析可知，恒功率变化的矩阵系数为sqrt(2/3)，瞬时功率公式中为电压电流的乘积，所以乘完之后的系数为2/3，如果采用恒幅值变换，电压电流对应变换矩阵的系数均为2/3,乘积过后为4/9，那么4/9乘以3/2就化成了恒功率变换，所以即使前面clarke变换用的恒幅值变换，在求功率的时候可以套用上面的公式，然后得到的功率再乘以个3/2即可，所以，对于 恒幅值变换，公式有如下形式：

静止坐标系下也是一样，需要乘以个3/2系数。

仿真分析：

由上面参数可知，三相有功P = 3*1*1/2*cos60=0.75 无功Q=3*1*1/2*sin60=1.3

由上面铺垫就可以由电压电流的瞬时值计算单相电压电流的平均功率了，由两相静止坐标公式，需要构造出电压电流两个滞后90度的虚拟量作为beta轴上的量（这里有好多种方法，可以采用SOGI，可以延时，也可以采用两个低通滤波器叠加），然后套用alpha beta轴下的功率公式就可以得到有功功率P和无功功率Q，这里的值还不是单相的功率值， 这个值是按照原来三相计算的，也就是说由alpha beta轴算出来的功率P = Pa+Pb+Pc，为三相的平均功率和，且是属于等幅值的。但是这里只用到了一相，所以P/3为单相的平均有功功率，因为本质上是采用恒幅值变换，由上文分析，需再乘以个3/2，即P1 = 3/2*p/3=P/2, 

二倍频分量主要是由低通滤波器造成的，因为低通滤波器在截止频率314rad/s时，降低的3dB是估计值，所以最后乘以2后的幅值是估计值，会有微小的不平衡出现，就相当于对应的原来的三相电压的正弦信号有不对称现象，那么负序分量就表现二倍频分量了，详细分析可以去看我发的视频。

参考书籍： 《电路（第五版）》 原著：邱关源  修订：罗先觉

              《PWM整流器及其控制》 张兴 张崇巍

              《PWM模式与电力电子变换技术》 陈国呈

              《电力电子电路》 陈国呈 译

              《谐波抑制和无功功率补偿》 王兆安 刘进军 王悦 杨君

这也是这个文集里面三篇文章的参考书籍，第二本和第三本感兴趣的可以看看。