郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

《九章算术·勾股16》

【原文】

今有勾八步，股十五步。问：勾中容圆径几何？

【今译】

假设一个勾股形的勾是 8 步，股是 15 步。问：勾股形中内接一个圆，它的直径是多少？

【题解】

设 为三角形的边长，其中 为斜边。令 为内接圆的半径、  为内接圆的直径。把直角三角形分成 6 块（图 1）：2 块朱色三角形、2 块青色三角形、2 块黄色三角形。

图 1

图 2

将把三种颜色的长方形复制 4 次（图 2 上），然后把两个同颜色的三角行拼成长方形（黄色三角形拼成正方形），再拼成一个大长方形（图 2 下）。用这个大长方形来推导 3 个不同计算内接圆值径的公式。

公式 1

大长方形的面积等于 4 个直角三角形的面积：

公式 2

从（图 2 下）中可以立即看出：

已知 和 , 所以

公式 1

公式 2

因此，内接圆的直径为6步。

《九章算术》的答案与解法