仿射几何方法是将向量的“尖儿”比作“点”，用一组向量构造点集代替几何体，在线性空间中研究几何的线性性质。

接下来介绍仿射几何的基本原理。

仿射向量的构造方式和向量场不同，规定仿射向量只能从原点出发，指向仿射点。所以在分析时，场向量和仿射向量的思维方式也不同。

我们约定欧式空间为基础空间，后文中的非欧空间也要以欧式空间作为理论依据，一切都研究结论都要建立在欧式空间的背景上。

用一个向量“仿射”一个点，向量的表示就需要坐标和基矢。

在欧式空间中，基矢就是单位正交归一向量组，组成坐标架——简称标架，是坐标轴的单位向量。欧式坐标系表示为(x y z)

一个向量(a b c)就可以写成基矢的线性叠加

在这里引入线性代数的向量表示，采用基矢·坐标=向量的形式

注意这里的基矢矩阵里面的基矢是竖排的

基矢矩阵的共同分量点积坐标才等于向量，而不是各基矢点积坐标。

因为欧式空间中的坐标值和向量值相同，所以约定欧式空间中的坐标就代表向量本身。

仿射变换：有另一个基矢矩阵A，A包括但不限于正交归一基矢。原来的向量和在A标架上的坐标的关系是基矢·坐标=向量。

用线性代数作一个简单的说明，

I代表欧式基矢矩阵，a代表向量，b代表向量a在A上的坐标。简单的解释了I和A、a和b的关系。

重要的是这种思考方式：基矢·坐标=向量。

在坐标变换后，向量的坐标值改变，但向量的几何关系不变，这是向量的几何特性。向量，是一个纯几何量，把它放到坐标系里有了坐标读数才有可计算性(但是我们约定其在欧式空间的坐标代表其本身，因为欧式空间是根本之空间)

如向量a+b=c，无论在各种坐标系中计算，这个关系总是成立的

还有角边关系、中点、比例等与坐标计算无关的平面几何性质，在不同坐标系上的等式都成立。

但如果是内积外积这种非几何的运算，就需要用基矢·坐标计算。计算的意义是什么取决于我们拿向量来代替什么东西，计算标量时只有欧式坐标对我们有意义。

仿射的主旨思想就是“以矢代点”→“以点代图”，

在欧式空间中做线性代数。因为标架场处处相等，总是可以在任意位置建立坐标系，设置仿射向量。

值得一提的是，在仿射运算中，用向量代表点，你可以给点加一个向量表示移动，但不可以把两个点相加，这无法有几何意义。也不能把两个点做内积外积。

最后介绍一下标架场。标架场就是在欧式空间上，定义一个基矢向量场，每点上都有一组基矢。如欧式空间本身的标架场

处处相等、正交归一，故向量在任意点标架上的坐标都相同，所以相当于欧式空间中的向量可以随意平移。欧式空间的向量值函数是(x y z)

，它的导数矩阵就是基矢矩阵标架场，∂(x y z)/∂(x y z)是一个单位矩阵——常数向量场。要说明的是，标架场是由各基矢组成，计算向量时才是用共同分量点积坐标，而共同分量不成向量场。

向量可以随意平移是常数基矢场的特性，常数向量组成的标架场都可以平移向量

如果标架场不是常数场（度量空间），向量在不同点的标架上坐标都不同，就不能“随意”平移

根据坐标变换原理，向量在不同位置将有不同的坐标，遵守向量=基矢·坐标。所以向量在平移时会伴随坐标变换。

后文由此概念推导出仿射联络（列维奇维塔联络）。