1与0.9999…哪个大，很多人可能会觉得这有争议吗，肯定1大呀。可是有点高数背景，学过数学分析的人可能会告诉你，它们是相等的，而且一般他们会强调1与0.9999…是严格相等的。

        今天我们就来说说1与0.9999…的大小问题。 1与0.9999…的大小争辩在于到底它们是相等还是1更大，持这两种不同观点的人数量都很多，互相都不能说服对方，都觉得对方是在挑战自己的科学信仰。支持1与0.9999…相等的 人，能给出很多1与0.9999…相等的证明，这里提一种比较简单的方法：

           但是学了数学分析似乎又会觉得没这么简单。这里涉及实数完备性的一些理论，比较复杂，我这里采取简单的方式叙述，区间套理论和戴德金分割就暂且不提了。首先我们知道实数是和数轴上的点一一对应的，且任意两个点之间都能有无数个点，也就是说任意两个实数间都有无数个实数，如果两个实数相等，则这两个实数之间没有其他数，这两个实数在数轴上用同一个点表示，意即表示这两个数的点之间没有“空隙”， 

        这里我们先要对大于和等于分别作定义 ：

        我们先定义大于：若AB两数,A>B,那一定存在一个数X，使A>X>B.

        我们再定义等于：

       现在我们用上面大于和等于的定义来看1与0.9999…的关系，如果说1大于0.9999…，但1与0.9999…之间却不能找出“中间数”，而且1与0.9999…似乎也满足上面对等于的定义，即1与0.9999…之间的空隙小于任意给定的正数（无论这个正数可以有多么小），到这里我们发现已经不能反驳1与0.9999…相等了。出现上述矛盾的关键似乎在于无限靠近和相等到底是否等价。另外，其实0.9999…是否是一个确切的数都备受质疑，有人认为0.9999…是一个无限循环的过程，永远没有终点，所以它不是一个确切的数，或者说数轴上没有和0.9999…对应的点。 

       那我们是否能设想给0.9999…一种数的定义呢，比如作如下定义：

但在这种定义下0.9999…应该不等于1，否则分母为零，没有意义了。

        在这里我要顺便提一下“潜无穷”的概念，我们可以认为0.9999…是一种潜在的不断构造的过程，永远无法完结，不是一个实在的可完成的过程，这就将1和0.9999…的大小争辩变成了“潜无穷”与“实无穷”的争辩（数学分析中还有相应的标准分析与非标准分析） 

       为方便理解，我们先谈谈“无穷小”，无穷小是潜在的还是实在的呢，意即无穷小是能达到的还是只能无限构造而无终结。关于这个，古希腊哲学家芝诺有著名的“芝诺悖论”，其中一个是说物体的运动是无法完成的，因为若物体要运动一段距离，则它需要先运动到这段距离的一半处，则它又需要先运动到一半的一半处，这个过程会一直持续无法终结，所以物体无法运动。

       不过现实是物体当然可以运动，难道无穷小的细分是能完结的？有种解释是，我们人类的思维是连续的，在思维过程中我们认为物质是可以一分为二，再分为二，无限细分没有终点的，但就目前而言已知宇宙中的物质却是离散的，不连续的，宇宙有最小的长度单元，即普朗克长度：

所以好像思想上的无穷小是潜在的无法达到，而现实中的无穷小是实在存在的，它定义了宇宙的最小刻度，正因为“无穷小”的这种特点，导致它是那么令人琢磨不透，难以理解，也就使得当一个问题涉及到无穷时，也变得模棱两可，难以定论。 

       至此，我们可以认为1与0.9999…的大小之争，也就是“实无穷”与“潜无穷”之间的争辩，其实两者之间没有严格的对错，只有选择的不同，意即在不同的“标准”下，会得到不同的结论。