1. 极限点定义的起源
在20世纪，实分析与复分析严重依赖于开集，闭集和极限点的概念。集合的极限点的思想最初发现于魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的著作，随后康托(Cantor)将其定义、发展、完善并引入了闭集的概念，而开集的概念最后才出现。
1.1 Weierstrass，极限点和聚点定理
极限点的概念虽然由康托(Cantor)命名并首次发布，但却是魏尔斯特拉斯(Weierstrass)发明的。它起初作为布尔查诺—魏尔斯特拉斯定理（聚点定理）陈述的一部分，并没有被视为拓扑或是几何学的一部分，而被认为是经典分析学中的一个定理。
Theorem 1(聚点定理)
实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.
该定理在二十多年以来的魏尔斯特拉斯(Weierstrass)著作中采用了多种形式，但彼此之间是近似等价的，只是所作用的集合特征不同。1874年，魏尔斯特拉斯(Weierstrass)在开设的“分析功能理论”课程中这样描述极限点[1]，
英文不好，不译
但该极限点的描述方法说明集合的极限点并不在集合里。
1.2 康托和极限点
1872年，康托(Cantor)为集合的极限点的概念取了一个名字（Grenzpunkt）[1]，他在分析学的研究中使用了极限点的概念，同时又扩展了关于其三角函数级数的实函数表示唯一性的定理，从函数连续的情况到具有某些稀疏不连续点的情况。值得注意的是，康托(Cantor)在定义极限点时使用了邻域的概念，“对于集合P的极限点，我个人理解为是实直线上的一个位置，在该点的任何一个邻域内，都包含了集合P中的无限多个点。”而对于这样的定义方式，可以发现极限点可以属于P，也可以不属于P。
Definition 2(邻域)
取自华师大版数学分析
注：该邻域定义是从实分析角度定义的，与拓扑学中的邻域定义略有出入。
1.3 极限点和连通性
在开集和闭集的概念产生之前，点集的连通性概念与19世纪出现的连续体思想有关。由于布尔查诺(Bolzano)定义的连通性[2]存在一定程度的悖论，故康托(Cantor)使用了距离等概念定义出了第一个能够完美生效在实数集上的连通性。雷纳斯(N.J. Lennes)继承了连续点的定义并于1905年用连续点定义出了第一个适用于n维欧氏空间的任意集合（甚至于拓扑空间任意集合）连通性的定义，“如果将一个非空点集划分为两个非空集,且至少有一个集合包含另一个集合的极限点，则称该点集是连通的”。
2.分析学和拓扑学中的极限点
2.1 分析中的极限点定义
在分析学中，极限点的出现跟整个实数集的完备性密不可分，极限点的几何直观也来自于下面的定义3’和3”。而作为与其等价的定义3，则体现了极限点的另一个称呼——聚点的几何直观，定义之间的等价性证明略去，均用到了完备赋范线性空间的性质，这一点与拓扑中的极限点定义却大相径庭。
分析中的极限点
2.2 拓扑中的极限点定义
定义取自Topology without tears
3. 极限点定义的差异分析
通过对于分析学和拓扑学中极限点定义的比较，我们可以发现其中的差异，但这些差异从何而来呢？根据近代数学的发展历程来看，数学家们研究的落脚点首先在于我们所处的三维空间和分析学中常用的实数轴，由于连续性是较好且较为直观的性质，故最初的研究多体现于此。我们所熟知的极限点、开集、闭集、导集等概念均是在研究一维实空间中出现的[5]，且当时在定义这些概念的时候并没有体现拓扑的思想，故这些概念的性质较强，但是对于条件较弱的空间考虑这些概念自然是不够现实的。
而数学的研究并不仅限于欧氏空间这种条件极强的空间，故在对其他类型空间的研究中，则应该将已有的概念去做推广。但这种推广并不是平凡的，套用逻辑学的思想来说，推广是在尽量保有概念的内涵的基础上，去扩展概念的外延，以适应更多一般的情况。例如在拓扑学中对于函数连续性概念的推广，是采用了集合的包含关系来定义函数连续性[6]，这样使得连续性不仅适用于欧氏空间，同样可以应用于拓扑空间中。而之所以采用邻域的包含关系，是因为在将欧氏空间推广到拓扑空间时，仅考虑保持开集性质的一致性，并没有引入距离的概念（同样能够定义距离的拓扑空间的性质也极强，被称为度量拓扑空间），再使用距离去定义连续性就会产生不必要的麻烦。
同理，在将极限点定义推广时，拓扑空间中并没有定义距离这一概念，故只能选择外延较强的开集(邻域)包含关系来定义极限点，而极限需要距离来支撑，失去了距离的拓扑空间中的极限点并不能直观的反映出“极限”这一概念。但该定义却是符合了分离性公理和选择性公理[7]所构成的公理体系的。
事实上，在数学发展历程中，对于欧氏空间的推广首先在于维数的推广，也即度量空间，但是却不能涵盖射影空间、仿射空间这类没有距离的空间，故拓扑空间就是对于度量空间的进一步推广。因而，在许多概念中出现了与本初定义不同的定义，但它们在本初定义的体系中却是等价的。故我们应该去进一步的体会同一名词各种定义之间的具体联系。
懒，所以理所当然
不知数，For the math
