数字信号处理的主要内容

离散信号与系统分析

1. 为什么学习本章

LTI离散系统的三种表示形式：①系统函数；②单位脉冲响应；③差分方程。

系统函数：适合系统的设计与分析，比如因果、稳定、滤波特性等分析。

系统函数H(z)的举例

单位脉冲响应：无限长脉冲响应，用离散卷积运算不现实。

单位脉冲响应的举例

差分方程：可以采用递推来实现，适合实时计算。

差分方程的举例

对LTI离散系统：

LTI离散系统的例子    

对于同一个LTI离散系统，有无限种运算结构。当变量和系数以无限精度表示时，不同运算结构是等价的，但用有限精度表示时，可能存在巨大差异。（有必要研究不同的运算结构）

不同的系统函数对应不同的算法、不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度，同时影响系统的复杂程度和成本。

2. 用信号流图表示网络结构

实现数字信号处理的三种基本运算单元：①加法器；②单位延迟器；③常数乘法器。

三种基本运算的表示方法：①方框图法；②信号流图法。

方框图表示法、信号流图表示法的示例。

信号流图

不同的信号流图代表不同的颜色丰富，对于同一个系统函数可以有多个信号流图去对应。

基本信号流图：①所有支路的增益是常数或者Z^{-1}；②流图环路中必须存在延时支路——如果环路不存在延时，可能无法计算；③节点和支路的数目是有限的。

存在不可计算但可解的信号流图。

不可用电脑计算，但是可解的信号流图（不是基本信号流图）

基本信号流图对应一种具体的运算方法，非基本信号流图不能用一种具体的运算方法来实现。网络结构可以通过基本信号流图来描述。

从基本信号流图求系统函数H(z)的过程：设置中间节点变量、联立方程组、求解方程组、消除中间节点变量、确定流图的输入输出关系。根据输入输出关系求出系统函数H(z)。

网络结构分类：按照脉冲响应的长度分类。

无限脉冲响应（IIR）网络、有限脉冲响应（FIR）网络

IIR滤波器在结构上存在输出到输入的反馈。

FIR滤波器的结构上不存在输出到输入的反馈，信号流图中不存在环路。

系统有极点，则必有反馈，则必定导致无限长脉冲响应。有反馈不一定有极点。

脉冲响应为有限长的充分条件：系统函数无极点。

有的系统，具有反馈回路，但是脉冲响应却是有限的。因为极点和零点相互抵消。

3. 无限长脉冲响应基本网络结构

对于有理系统函数的运算网络结构：直接I型结构、直接II型结构、级联型结构、并联型结构。

用户诉求：①耗时考虑，乘法更少；②耗资考虑，延时单元更少；③算法的可分割性，并行性；④处理器之间的通信，独立性；⑤有限精度的影响，计算受到有限资产影响的灵敏度低。

直接I型：

直接I型的原理

直接I型的结构示意图

优点：结构简单、清晰、便于理解。

缺点：①所用运算单元多、延时支路较多；②a、b常数对滤波器的性能控制作用不明显；③零点、极点关系不明显，调整困难；

直接II型：

直接II型的原理

直接II型的结构示意图

直接I型和直接II型的对比

相同之处：①都是直接型的实现方法，共通的缺点是a,b对滤波器的性能控制不明显，因为它们与系统函数的零极点关系不明显，因而调整困难；②直接型机构极点对系数的变化过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。

不同之处：II型所需的延时单元较少，可以节省单元或寄存器。

级联型：

先将系统函数按照零点极点进行因式分解

系统函数按照极点零点进行因式分解

再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，则得到：

使用实数二阶因子

IIR型级联型网络结构：H(z)= H1(z)·H2(z)·...·Hk(z)

级联型示意图

级联型结构不是唯一的。

一阶网络结构

一个六阶系统函数可以用三个直接II型的级联表示：

一个六阶系统函数：三个直接II型的级联表示

级联型机构的优点：

①所需存储器最少，系统结构组成灵活，该结构应用广泛。

②每一个基本节与滤波器的一对零点和一对极点有关。

③调整系数β_{0k}、β_{1k}、β_{2k}可以单独调整滤波器第k对零点，而不影响其他零点、极点。

④调整系数α_{1k}、α_{2k}单独调整滤波器第k对极点，而不影响其他零点、极点。

级联型结构的缺点：

①存在误差积累，前级误差会传递到后级，但级联结构中后面的网络输出不会传送到前面，所以运算误差的积累相对于直接型要小。

②零极点配合关系着网络最优化的问题，而最佳配合关系不易确定。级联结构可以有许多不同的搭配关系，不同方案性能不同。

并联型：

把H(Z)占城部分分式形式：

并联型表示：把它展开成相加的形式

其中H_i(z)通常为一阶网络和二阶网络， 网络系统均为实数。二级网络的系统函数一般为：

二阶网络

其中β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果β1i=a2i=0则构成了一阶网络。

一阶网络

并联型表示：

并联型表示

通过每个二阶（或一阶）网络后，将所有的输出相加可以得到输出y(n)。

并联型表示

同时带有常数、一阶网络和二级网络的并联型网络结构。

并联型网络结构示例

并联型结构的优点：

① 并联结构可以单独调整极点位置。所以，在要求准确传输极点的场合，宜采用这种结构。

② 各并联基本节的误差相互没有影响，无误差积累，因此并联形式运算误差最小。

③ 基本节并联，可以同时对输入信号进行运算，因此并联型结构运算速度快。

并联型结构的缺点：

① 不能像级联型那样单独调整零点的位置。（因为并联型各子系统的零点，并非整个系统函数的零点）

② 当H(z)有多阶极点时，部分分式展开不易。

IIR网络结构的转置定理

转置形式（流图倒置）：如果将源网络中所有支路的方向加以反转，并将输入和输出相互交换，则网络的系统函数不会改变（可由梅森公式得出）

IIR网络结构的转置定理

一阶转置结构

一阶转置结构

二阶转置结构

二阶转置结构

IIR基本网络结构的特点比较

IIR基本网络结构的特点比较

4. 有限长脉冲响应基本网络结构

①FIR网络没有反馈支路，没有环路。

②所有极点都在0处，收敛域为：|z|>0。

③单位脉冲响应是有限长的。

有限长脉冲

FIR滤波器的差分方程

从IIR到FIR的转变

FIR滤波器的差分方程

FIR系统的基本网络结构

级联型结构的特点

①级联型机构的每一个一阶因子控制一个实数零点。

②每一个二阶因子控制一对共轭零点。

③调整零点位置比直接型方便。

④所需要的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。

5. FIR系统的线性相位结构

线性相位：系统函数的相位和频率成线性关系；这种滤波器的群延时为一常数。

冲激响应h(n)的傅里叶变换H(jω)包括幅频特性和相频特性。

冲激响应的傅里叶变换

系统群延时定义；

系统群延时定义

满足线性相位时

满足线性相位时的相位变化

群延时为一个常数

群延时是一个常数

系统函数线性相位的重要性

数据传输、图像处理都需要系统具有线性相位（保证数据、图像不畸变）

在雷达、通信等系统中，要求滤波器具有良好的线性相位特性，以保证信号的无失真传输。

相位在图像中非常重要，甚至比幅度还要重要！

通过相位，可以基本上恢复出原图像的大概外形

图像处理对于系统函数的相频特性要求具有线性相位。

实验原理：将原图变换到频域，乘以不同的系统函数，再反变换。

原图和二次相位图像弥散

FIR系统的线性相位结构：

线性相位结构

若FIR系统的h(n)是实数，且满足对称性。即满足约束条件：

h(n)=±h(N-1-n)，+为第一类，-为第二类。

也就是说h(n)的对称中心在（N-1）/2，则这种FIR滤波器就具有线性相位。

下面我们针对h(n）的奇、偶进行讨论。

N为偶数时

N为奇数时

6. FIR系统的频率采样结构

频域采样定理：

原序列的Z变换H(z)与采样值H(k)满足下面关系式s

频域采样的FIR网络结构。

7. 格型网络结构

全零点格型网络结构。

全零点格型网络的系统函数：全零点格型网络结构的流图。

该流图只有直通通路，没有反馈回路，因此可以称为FIR格型网络结构。

全零点格型网格结构

基本构成单元：

基本构成单元

差分方程如下：

差分方程

Z变换之后：

Z变换

矩阵形式、级联之后：

矩阵、级联

系统函数

FIR格型网络的系统函数s

2. 由FIR直接型网络结构转换成全零点格型网格结构

假设N阶FIR型网络结构的系统函数：

系统函数

式中, h(0)=1; h(n)是FIR网络的单位脉冲响应。令ak=h(k)，得到:

式中，a0=h(0)=1；k1为全零点格型网络的系数，l=1, 2, …, N。

量化效应带来滤波器性能下降：

以下是一个满足线性相位的FIR低通滤波器，一共27阶，一共27个零点。

量化系数效应。

朴素解释：系数量化的噪声具有随机性，因此相当于在原来的滤波器上叠加了一个随机噪声，随机噪声的具有白色频谱，因此，会在整个频带上叠加一个幅频误差，这个幅频误差会降低通带的平坦度，会抬高滤波器截止带的增益。导致滤波器滤波特性下降。