中指定理，是将原函数与导数联系起来的重要定理，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。《高等数学》中用于证明题的中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项泰勒公式、积分中值定理。

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值定理

积分中值定理

前三个定理之间的关系

罗尔定理，拉格朗日中值定理、柯西中值定理这三个中值定理之间有着非常密切的关系。

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，而柯西中值定理又是拉格朗日的推广。

从而，拉格朗日中值定理就是柯西中值定理的特例（将柯西中值定理的g（x）设为=x，则得出拉格朗日的结论）。而罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特例（若函数两端点相等，通过拉格朗日也能得出罗尔定理的结论）。

 所以理论上，其实这三个定理是等价的，也就是说，只要其中一个定理能够证明的题，用另外的定理也一定能证明。但是考虑到证明时的方便性，一般来讲，能用简单的中值定理解决，就不用较复杂的中值定理，要根据题型来选择使用什么中值定理。。

题型一

题型一

含有一阶导数和一个中值的等式证明题。

这种题型的解决思路一般是选择罗尔定理，通过构造辅助函数的方法证明。

 解题的关键要点有两个：一是构造辅助函数，二是找到辅助函数函数值相等的两个端点。

构造辅助函数的方法：

1.     分析法

2.     微分方程法

下面通过一些案例介绍

例一

首先审题，第一小问，只出现了函数f而并未出现导数，且证明的是等式，考虑使用零点定理即可。比较简单。

第二小问，出现了一阶导数，且证明的是等式。判断使用罗尔定理构造辅助函数证明。

首先把题给的等式移项，使等式右边为0.

我们要构造一个函数使其求导后为等号左式。

我们用分析法，观察左边的式子。

那么我们就能尝试构造函数了。

这样，我们的辅助函数就构造完毕了。

通过这个辅助函数的构造，我们可以总结以下规律：

现在我们验证一下两个端点函数值是否相等即可。

端点函数值相等。这样，最核心的两步就完成了，这题也就解决了。

例二

一阶导数，单个中值。一样是利用罗尔定理。

为了介绍微分方程法，这个案例我们使用微分方程的办法来构造辅助函数。

将要证明的等式转化为微分方程，解出通解，然后移项，使等式右边只含有任意常数C，这样等式左边的函数就是要构造的辅助函数。

再验证端点函数值，这题也就解决了。

通过这个辅助函数的构造，我们可以总结以下规律：

熟悉了以上基本的构造形式，最后可以总结一个最一般的形式：

题型二

解题思路：将两个中值移到等式两边，反向用拉格朗日或者柯西中值定理将中值变成函数的差的形式。

例一

先把等式移项观察

通过分析，我们可以知道左边用拉格朗日，右边用柯西即可。

例二

一样的思路，把等式移项观察

题型三

与题型二的区别在于其要求两个中值点是不同的两个点，那么在同一个区间使用中值定理就没有办法说明两个中值点不同了。

这种类型的题，需要将区间分成两个子区间，然后在两个子区间分别使用拉格朗日中值定理。关键在于分区的那个点怎么找。

例一

第一题使用零点定理即可，比较简单不再赘述。

第二题要求中值点不同，那么需要找一个点将区间（0,1）分成两个部分，然后利用拉格朗日中值定理。这个点是那个呢？

一般第一小题会给提示。

那倘若没有第一小题，怎么确定这个点？我们需要使用逆推法。

例二

双中值但是要求中值不相等的题，我们知道一定要分成两个子区间，对于分区点，用逆推法来求。

找到了分区点，在两个区间使用拉格朗日中值定理就行了。

再看例一，倘若例一没有第一小问。用同样的方法，再进行少许分析也能得到分区点。

以上，中值定理证明题解法（part1）。

练习题

解析见下篇专栏