概率分布函数的定义是：随机变量X≤x的概率，也就是P{X≤x}的大小。

它有四条性质：

       第一，因为概率分布函数的数值代表的意义也是概率，所以大于等于零，小于等于一。

       第二，函数不减，因为x越大，随机变量X就越容易被取到。

       第三，当x趋向于正无穷时，函数等于一，因为随机变量不管取何值都会落在零到正无穷                    区间内，x趋向于负无穷时，函数等于零，因为随机变量取何值都不会小于负无                        穷。

        第四，分布函数如果有间断点，一定是右连续。

        我对第四条表示不理解。我首先上网查了查，感觉众说纷纭，大部分都是云山雾罩，甚至有人说什么想通了就明白了，fei hua，想通了我干嘛点开你的文章。于是我打算用实例来帮助自己理解。

        用简单的扔硬币试验来辅助说明，把正面朝上赋值为X=0，把反面朝上赋值为X=1，（不考虑硬币立起来）。那么这个试验结果的概率的分布函数为下图：

扔硬币的概率分布函数

       为什么最左侧红线落在负无穷到零的开区间，因为开区间的含义是无限趋近，P{X≤0}与P{X≤x | x趋向于零但不等于零}  二者在概念上有本质区别。也就是说，因为含义不同，导致计算范围不同，最终导致概率不一样。

       当x趋向于零但不等于零时（X<0等价于X≤x时x趋向于零但不等于零），它的概率对于抛硬币试验来说一定是零。但是X≤0，含义和范围就发生了变化，变成了 X<0 或者 X=0，也就是不管是 X<0 还是 X=0 都算作这个事件发生了，行话讲叫和事件，所以概率就是0+0.5=0.5而不是0了。正是分布函数经过跳跃间断点时含义发生变化的特点，导致概率分布函数是右连续的。

       离散随机变量的分布函数是间断的，而对于离散随机变量是不研究概率密度的，因为离散随机变量上一点的概率是有实在意义的。拿上述的硬币实验来说，X=0和X=1是有明确含义的，一个是正面，一个是反面。而连续随机变量上一点的概率是0，准确来说是无限趋向于0，因为连续随机变量的总体是无穷的。比如说，向一个长1的线段上扔一个点，那么这个点落在线段左半部分概率是0.5，那么再将范围缩小，落在左1/4长度内的概率就是0.25，当范围逐渐缩小，点落在其中的概率也就逐渐变小，当范围缩小到一个点了，概率就是0了，故密度函数上一点的函数值没有实际意义。所以研究一个连续随机变量只研究它的范围，通常来说就是对x的定积分(二维三维就是二重三重积分)。而离散随机变量就直接把每个点的概率都列出来就可一目了然。

       有小伙伴会说了，那不是还有取值是无穷多个的离散随机变量吗，那为什么每个点都是有含义的呢？比如泊松分布，二项分布等等。像这类分布，你需要考虑取值时的意义，比如二项分布，在每一次求概率时，实际上是对前n次伯努利试验取值，比如前5次，前9999次等等，是有限次的。而泊松分布是对二项分布取极限得到的。

       至于我们日常学习的概率随机性，都是在宏观经典情况下的，比如说从盒子里摸球，扔硬币等，尤其是古典概型。当我们从盒子里摸球时，我们以什么角度伸手进去，把球放进盒子里后球的分布，甚至我在盒子里搅拌一下时我的手是怎么运动的，搅拌时球的受力和初始状态都是确定的，所以最终摸出哪个球在我们一伸手时就是确定的。但是我们为什么还要算个概率来说明可能性呢？因为我们没有必要去计算我们伸手进去后手和球的运动状态，因为太复杂了，所有人都懒得去考虑手和球的运动。当然想算还是可以算出来的，毕竟是低速宏观下的运动。但是在量子领域，一切就不同了，以人类目前所掌握的量子力学知识来看，电子的动量和位置不可同时观测到，观测位置时电子出现的位置是随机的，目前开来，这才真正意义上的随机事件。