直线绕异面直线旋转，得到单叶双曲面

单叶双曲面中的直线

       如上图所示，现有两条异面直线，若其中一条绕另一条旋转，则得到的旋转面是单叶双曲面。或者说，在单叶双曲面上能作出直线。

广州塔（小蛮腰）

       从远处看，广州塔是曲面。而近处看，它是由若干笔直的材料搭建。

       本文将介绍一些基础的空间解析几何知识，并通过数学证明来解释上述现象。

一、空间直角坐标系

平面直角坐标系共有四个象限（四象、八卦）

       需要强调一个细节：严格地说，x轴、y轴和z轴三者的位置不能随意替换，它们的正方向必须满足右手螺旋顶则（这也是向量叉乘的运算法则之一）。

具体地说：

1.除了右手大拇指，让右手手指方向（指根到指尖）与x轴正方向一致。

2.往右手手心方向转动90°，使右手手指方向与y轴正方向一致。 

3.右手大拇指方向与z轴正方向一致。

二、几个简单的曲面方程

1.球面：(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²，球心坐标为(a,b,c)，半径为R。

2.圆柱面：x²+y²=R²，中心轴为z轴，半径为R。

3.圆锥面：z²=x²+y²，中心轴为z轴，半顶角为45°。

4.请大家留意单叶双曲面的方程，在后文中要用到。

二次曲面方程

三、空间直线方程

       在空间直角坐标系中，确定一条直线只需要两个条件：

一、该直线上任意一点P的坐标(a,b,c)；

二、该直线的方向向量s（即与该直线平行的空间向量），且s=(l,m,n)。

       从而该直线的方程可以表示为：(x-a)/l=(y-b)/m=(z-c)/n，它也被称为空间直线的点向式方程（当然，空间直线的方程还有其它表示形式）。

       需要强调的是，如果l,m,n中有一个或两个等于0，那么方程的表达式需要稍作调整，具体地说：

1.不妨设l=0，mn≠0，则直线方程为：x=a且(y-b)/m=(z-c)/n。此时，这条直线平行于yOz平面（或在yOz平面上）。

2.不妨设l=m=0，n≠0，则直线方程为：x=a且y=b。此时，这条直线就与z轴平行（或重合）。

四、证明

       为了简化计算，取这样两条异面直线：它们的方程分别为z轴(x=0且y=0)和直线L(y=1且x=z)。直线L绕z轴旋转一周所得到的曲面记为Γ，且该曲面上任意一点的坐标为(x,y,z)。

       在直线L上任取一点(X,1,Z)，那么它到z轴的距离的平方D²=X²+1=Z²+1。

       而曲面Γ在z=Z处的所有点到z轴的距离的平方d²=x²+y²。

       因为旋转的性质，所以必有D²=d²，即x²+y²=Z²+1=z²+1，

       亦即x²+y²-z²=1，所以曲面Γ为单叶双曲面，证毕！

       最后，再让我们感受一下单叶双曲面的神奇之美吧！