如有错漏之处请不吝指出~
视频版（详细教学）
先说结论
符号见“符号说明”一节。
1.
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3.
4.
5.
主要内容
本文给出 5 组公式，内容包括
1. 给定初始 Motion 标签值的下落的方块（falling block）在 t 游戏刻（game tick）时的 Motion 标签值；
- 假设下落的方块在 0 游戏刻时被召唤（summon）。
2. 给定初始 Motion 标签值的下落的方块在 t 游戏刻时的位移；
- 位移：实体（entity）当前坐标（pos）向量减实体被召唤的位置的坐标向量
3. 已知 t 游戏刻时下落的方块的位移，求初始 Motion 标签值；
4. 下落的方块的位移的 y 轴分量与 x / z 轴分量的关系；
5. 给定初始 Motion 标签的下落的方块达到 y 坐标最大值的时间。
本文仅讨论下落的方块在空气（air）中且不受阻挡时的运动状态，并且本文不讨论下落的方块落地变成方块（block）的情形。
本文不考虑浮点误差。
实体运动数据
Minecraft Wiki“实体”（entity）页面“运动”（motion of entities）章节的表格
根据 Minecraft Wiki“实体”（entity）页面“运动”（motion of entities）章节 [1] 的表格，我们获得下落的方块的竖直方向加速度值（acceleration）、竖直方向阻力值（drag (vertical)）、以及水平方向阻力值（drag (horizonal)）。
符号说明
- 表示下落的方块在 t 游戏刻时的 Motion 标签值；
- 表示下落的方块被召唤时的 Motion 标签值；
- 表示下落的方块在 t 游戏刻时的位移；
- 下落的方块在游戏刻时达到 y 坐标最大值；
- 下落的方块的竖直方向加速度值记为；
- 下落的方块的竖直方向阻力值记为；
- 下落的方块的水平方向阻力值记为。
实体运动基础规律
对于下落的方块（以及其他“应用阻力”（applies drag）为“之后”（after）的实体），其 Motion 标签值满足如下基础规律：
其位移满足如下基础规律：
公式推导过程
由于下落的方块在 x、z 轴上的运动情况仅仅是在 y 轴的情况中把加速度值替换为 0（不存在加速度），把竖直方向阻力值替换为水平方向阻力值，因此在接下来的计算中，只需重点计算 y 轴的情况。
1. t 游戏刻时的 Motion 标签值
对于 (15) 式，待定系数 ，
移项得
与 (15) 式比较，解得
也就是说，
构成以
为公比的等比数列，因此
整理得到
然后，把 替换成 0，把替换成
，即可得到 x、z 轴的公式：
2. t 游戏刻时的位移
对 (19) 式求和，然后把 (21) 式代入得到
然后，把 g 替换成 0，把替换成
，即可得到 x、z 轴的公式：
3. 已知 t 游戏刻时的位移，求初始 Motion 标签值
在 (22) 式中求解得到
x、z 轴上则是
4. 位移的 y 轴分量与 x / z 轴分量的关系
下落的方块抛物轨迹
在 (23) 式中求解 t 得到
代入 (22) 式得
同理，
5. 达到 y 坐标最大值的时间
由 (22) 式，
情形 1. 当时，
此时
因此；
情形 2. 当时，
单调递减，
取最大值当且仅当
且
解不等式
解得
因此，
习题
1. 在 0.5 0.0 0.5 处召唤一个下落的方块，初始 Motion 标签值为 [1.0, 2.0, 3.0]，假设该下落的方块在空气中运动且不受阻挡，求 8 游戏刻后该下落的方块的坐标。
2. 在 0.5 0.0 0.5 处召唤一个下落的方块，假设该下落的方块在空气中运动且不受阻挡，求初始 Motion 标签值，使得该下落的方块在 32 游戏刻后的坐标为 16.5 4.0 32.5。
习题解答
1. 在 (4)、(5)、(6) 式中令以及 t = 8，计算得到
，最终坐标为 7.961848870910726 13.54892152880647 22.885546612732174。
2. 在 (7)、(8)、(9) 式中令 t = 32 以及，计算得到
，此即初始 Motion 标签值。
更新日志
- 2018-10-17 发布文章。本文原标题为《关于修正并改进xwj的MC实体运动公式—适用于MC中所有实体》
- 2024-09-16 更改文章结构，修改公式适用范围。
引用、致谢
1. Minecraft Wiki，https://minecraft.wiki/w/Entity#Motion_of_entities
- 感谢 ~xwj~
