本人2024国赛A题国一，2025指导学弟拿到美赛F，本科物理专业在读，注意到今年的APMCM B非常有意思，和今年国赛B题类似，是一个涉及到光学、电动力学、半导体物理学的物理问题，这都是笔者非常擅长的，因此尝试解答一下本题，写一些参考思路和代码，供大家参考。

APMCM B需要解决以下问题：

1.建立合适的数学模型，研究PDMS薄膜的发射率（随波长变化） 与薄膜厚度之间的关系。

2.建立合适的评估模型来衡量不同厚度PDMS薄膜的辐射冷却性能，并基于结果给出对推广与应用的若干建议。

3.选择合适的其他材料与PDMS组合成多层薄膜结构，并结合优化设计算法，对材料选择与各层厚度进行优化设计。

4.对辐射冷却材料与结构做一个全面的优化设计，达到尽可能好的辐射冷却效果；随后评估该设计的可行性与成本（制造、经济、耐久等方面）。

问题假设：

1.    材料均匀、各向同性，其光学性质只随波长变化，不随位置变化。

2.    薄膜为平面多层结构，界面平整，无粗糙散射。

3.    金属反射底层不发生透射。

4.    光照为非偏振光，反射率与发射率对 s（TE）和 p（TM）偏振单独计算后取平均。

5.    忽略温度依赖与非线性效，只研究光谱发射率与厚度的关系。

6.    忽略表面粗糙度与微结构效应，表面假设理想光滑，不发生微结构散射或Mie散射。

7.    忽略多次外部散射与吸收，外部环境（空气、大气气溶胶）不引入额外散射或吸收，仅关注材料本身的光谱响应。

问题一：PDMS薄膜的发射率（随波长变化） 与薄膜厚度关系的模型建立

材料的复折射率：

吸收系数 𝛼与皮肤深度：

根据斯涅尔定律，入射介质（空气，n0=1）入射角 𝜃0 给出第 𝑗层传播角 𝜃𝑗：

第 𝑗层的相位厚度：

对于单层，第 𝑗层的特征矩阵𝑀𝑗（2×2）按偏振区分：

将各层矩阵按入射顺序连乘得到总矩阵：

定义入射侧与出射侧的𝑞值为 𝑞0 与 𝑞𝑁+1，复反射系数为

则反射率（功率比）：

由基尔霍夫定律，在每一波长和方向上：

对非偏振入射，取 s、p 平均：

半球平均发射率（对外辐射的有效发射率）定义为

在给定波段[𝜆1,𝜆2]上，定义算术平均

以及 Planck 功率谱加权

其中Planck 谱（单位：每单位波长的单向出射）为

折射率数据（供参考）：

https://refractiveindex.info/?shelf=organic&book=polydimethylsiloxane&page=Querry-NIR

使用的数据来自github的开源数据库，我已经打包好.yml文件，如有需要，可以访问（https://mbd.pub/o/bread/YZWZlJxtaQ==）获取。Matlab无法直接处理.yml文件，需要下载一个YAML包，地址如下：

https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/fileexchange/106765-yaml

基于真实数据绘图如下：

更多思路和代码、参考文献、数据都可以在以下链接寻找。

https://mbd.pub/o/bread/YZWZlJxtaQ==

比赛期间我会持续更新，并在更新的过程中不断打磨完善每一问的内容，直到这个问题被基本解决。