本笔记从3.3章开始，因为3.3章以前的笔记我看之前已经有人发过

***不知道笔记怎么分页和制作目录，实在太长了***

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3.3

函数的单调性

函数的凹凸性

3.4 极值点，驻点

求极值的解体步骤方法一

求极值的方法二

a. 借用二阶导数判断极大值或者极小值 b. 如果导数等于0，在该点处的极值可能不存在

3.5 画图

渐近线分类：水平，垂直，斜

因为f(x)和x基本重合，所以得到下面的式子

重要：如果斜渐近线存在那么函数大约是个1次的，否则斜渐近线不存在。

下面的例题，很复杂，用了上面的步骤。注意：二阶导数等于0的点是拐点（与驻点的区别）

4.1

微分：是个求导过程（求导函数）

积分：求导的逆过程（求原函数）

求导x次数变少，求原函数或者求不定积分次数变多

三个常见公式和不定积分的几何意义

不定积分的性质1：

性质2：注意下面3）如果是无限项就不成立，例如左右都加了...，等式就不成立了

常见公式：4,8.9,12,13公式理解就行了，其余必须记忆

4.2

解题思路反向凑成4.1的各种形式，需要注意的是求出来原函数的形式可能不唯一

分部积分法公式（详细推导过程如下），解题的关键是分清楚谁做U,V

解题的关键是选择谁做U，谁做V， 关键是不能 越做越复杂，下面这个解法2中如果把X往d后面拿，就变得越来越复杂

下面这个解法中如果把x往后拿就会越来越复杂，如下两种解法第一种可以算出来，第二种直接变复杂了

4.3 有理函数积分

多项式化简为分子比分母次数低的形式

a) 分子比分母高，使用多项书的除法（遇到除数或者被除数次数缺的，需要用0补齐）

b)分子和分母齐次（把分子配成跟分母一样的形式）

c) 分子比分母次数低-真分式（就是我们期望的形式，无需化简）

题目讲解：

第一类题目分母为2次多项式，分子为整数，根据分母多项式的根的情况可以分为三种情况

第一种情况直接是ln(x+1)的形式

第二种情况解题：

注意下面2用的待定系数法（先把分母化成两个含X多项式的乘积，然后展开为两个式子和的形式，其中分母为每个因式，分子假设为常数A1,A2， 然后将含有A1和A2的式子合并，由于合并后的式子分子为1， 依据为1可以解出来A1A2）

第三种情况：换元法，将分母化成t的平方+1的形式，然后根据arctan公式得出结果

第二类题目：

分子为dx+e的形式，分母是个2次的形式（分子或者分母x的系数可以不用管，因为可以提到积分符号外面）同样分为以下三种形式，下面这个截图中表示了两种情况，第三种情况只有一半，在下下面截屏中表示

接上面第三个题目，板书比较乱（先写了下面发现版面不够，就把=写在上面了），最红结果为1/2ln|x2-2x+3|

下面介绍分母是3次或者更高次的形式

其中用到了一个公式，先讲下公式这个公式构成，公式中的第一类（分母中用括号分割的项中的x最高次数为1的项）部分讲解（分母按照括号的每一项展开，次数从最高次递减到1次展开，注意补充低次项，展开后的每一项分子为常数项，假设为A1A2A3A4）如下面右下角：

公式中的第二类(分母中括号项里面的x为2次的多项式)部分讲解（分母按照乘法每一项展开，次数递减到1，需要补充低次项，每个式子的分子是个1次的多项式，分子如B1X+B2）

第3题的解题过程（用到上面第一类公式，按照分母每一个乘数项分开之和， 分子凑成常数，然后假设分子为A1A2A3, 合并后与原来的多项式分子做对比，可以计算出A1,A2,A3， 就是常说的待定系数法计算A1A2A3）

第4题的解题过程（同时用到上面第一类和第二类公式，按照公式展开，用上面同样的方法解出来A1A2A3）

下面这个例题解题时需要用到换元法，将x用t表示，具体如下

以下两类题目：a)分子是1;b)分子是个1次的多项式

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第五章

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5.1 定积分

定积分存在的两种情况，即下面定义1和定义2

用定积分定义求面积（x轴n等分）

用近似法求面积

a)矩形法，将X轴每一个分割图形按照矩形计算，（长为f(x), 宽为(b-a)/n）缺点是每一个分割部分少了一个近似三角形的面积

b)梯形法, 将X轴每一个分割图形按照梯形计算，（上底为f(x1), 下底为f(x1+(b-a)/n), 高(b-a)/n），缺点是每一个分割部分多了一个近似三角形的面积

c)抛物线法,(由三个顶点计算出来一个新的抛物线的方程， 看老师表情就知道这个方法太复杂，一般不用)

利用定积分的性质

注意性质2中的c不管在ab区间里面还是外面，公式永远成立，原因如下证明

推论2原因解释一下：如果在区间ab上，f(x)一半正一半负，就是小于

推论3（写成5了）， M,m分别为区间ab上的最大值和最小值，积分面积就处在m和M分别围成的图形中

性质6，定积分中值定理，重要！！！

5.2 定积分定理

变限函数（除了自变量t外，上下限也可能会出现变量x），解题公式分下面几种情况：

a) 上限是x， 将x带入被积函数替换被积函数中的t;注意最终表达式是个关于x的函数

b) 下限是x， 根据上一节中的性质，颠倒上下限并且取负号，然后变为a)的形式再计算

c) 上限是一个关于x的函数，如g(x)，并不是简单的x， 此时计算时分两步（如下面例题2）：第一步将上限表达式代入被积函数,即上限换成g(x)；第二步用链式法则求导，最终为f(g(x))*g`(x)

d) 下限是x的函数，颠倒上下限取符号，再用c)方法

e)上下限都是x的函数，（公式推导是将区间用一个常量分割为两个定积分之和，再用链式法则分别对两个式子求导）

几个例子

例题1：分子为0形，分母也是0形（因为上下限都是0），因此是0比0形的，那么直接用洛必达法则

例题2：

题目难点：分子是两个积分符号，把外层积分符号去掉，将外层积分上限函数g(x)带入内层积分上限；去掉的依据是最终是个关于最外层变量的函数。

牛顿莱-布尼茨公式：

公式讲解：先计算F(x), 注意是大写的F, F(x)为积分f(x)的原函数, 再将a和b带入F(x)；

先举一个例子应用：

再举一个例子：该例子先把绝对值符号去掉变成两个式子之和，即在两个区间上的积分

根据x的取值范围和x的函数表达式分为以下两个大区间函数， 这里需要注意一点的是在第二个区间(1,2]上，又分为两个区间(0, 1], (1, 2]上积分和的表达式

5.3 定积分的换元法

换元公式如下：可以将包含变量复杂的部分简化，如例题1，注意-换元时上下限也跟着换

例题1：

例题2：用到倍角公式，结论需要记忆

注意几何意义：由于a的平方-x的平方=y的平方， 正好是个圆的方程，因此这个积分就表示以(0,0)为原点，a为半径的圆中当0<x<a的对应的1/4圆的面积，经过验证与结果一致。

重要性质：

针对f(x)为偶函数或者奇函数分了一下两种公式：注意应用条件，积分的区间一定要关于原点对称！！！

例题：

换元法求导：已知一个积分等式，求给定式子的积分（换元， 化简， 等号两边同时求导）

定积分分部积分法-公式

公式是由乘积的微分法则公式推导出来的，如下：

公式应用在举例2，其中解释：

难点原式子是d(x)， 将其变为d(g(x))，也就是说复合函数的逆过程；下面箭头部分的指向就是变为复合函数的部分；

下面这个例子主要先换元（注意换元后的表达式和原来的表达式相同，只是变量名字不一样）；分析第一部分，(-1, 1)区间是关于原点对称，偶函数*奇函数，最后还是奇函数，即这一部分为零，可以直接约掉。

5.4 定积分的应用-求面积 （重要！！！）

分两种情况

a)图形对x轴垂直的面积（上边曲线-下面曲线）

b)图形对y轴垂直的面积（右边曲线-左边曲线）

先画图，再判断是x轴还是y轴垂直的图形（x型或y型），再选择用谁减去谁

例题（x型）：

两个曲线方程分别为如下，求阴影部分面积，省去了y轴左边的部分；因为是偶函数，所以只需要计算y轴右边的，结果*2就行了

例题（y型）

已知两个曲线方程，求阴影部分的面积？

解题过程中将x改写成y的函数，然后用右边的曲线-左边的曲线

5.4 定积分的应用-求体积

大部分是不规则图形的体积， 如下面这个类似土豆的图形，摆放位置与X轴平行，求它的体积：注意黑板中的A(x)表示与x轴垂直横截面的面积，推导出来体积公式如下：注意积分的含义实际上就是求和

对于公式的应用分两种情况，图形对x轴垂直和对y轴垂直，其中对y轴垂直要写成关于y得的函数，此处举两个小例子

举例3：

已知曲线的方程为y=x的平方，求曲线与x轴围成图形的面积，结果为下面v的表达式

举例4：

已知两个曲线方程分别为x+y=4和xy=3, 求两个曲线之间的体积， 结果为下面v的表达式

5.4 定积分的应用-经济问题

实际上就是研究成本每增加一个单位，收益或者利润增加多少

注意自然常数e的定义

对(1+1/m)的m次方中m->无穷大求极限结果为e,大约等于2.71828...， 是瑞典数学家雅各伯.伯努利发现的，在放射性衰变，金融复利中的无限次复利增长中有广泛应用

用到等比数列求和

5.4 无穷限积分

分以下三种情况，最终都转化为极限的积分

举一个例子并且总结一下：

再举一个例子：（下面例2是个发散的，因此不存在）， 下面例子5结果要求记忆

性质

定理：绝对收敛则必收敛

5.4 定积分-暇积分

在一个端点处无定义，解题方法，将无定义的点处向左或者向右移动一点点，按照上下限端点有无定义，可以分为以下三种情况：如下：

例题：

例题，结果需要记忆

伽马函数，不重要，结果记忆就行

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第六章

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多元函数微积分

6.1 解析几何

平面

三维空间中两个点的距离，需要记忆；xyz任意两个轴组成的平面另外一个轴一定为0；平面方程Ax+Bx+Cx+D=0

球面

下面两个方程分别表示圆心不在原点和在原点的方程

当Z取0时，此时球面变成了一个圆面，方程为：X的平方+Y的平方=R的平方

旋转抛物面

双曲抛物面

一些重要概念：

多元函数，去心邻域，内点（表示一个范围，且在边界内），边界点（边上的点永远有一部分在内，一部分在外），开集（所有的点都是内点，不包含边界点），闭区域（包含边界点）

有界点集，无界点集

二元函数

下面三个方程分别是平面，旋转抛物面，上半球面

二元极限

以任何方式向P0逼近（即从P0的四面八方向P0逼近），极限值如果存在切唯一，就说明二元极限存在

例题：证明极限不存在（方法：找出两种逼近方式计算出来的极限值不相等，就说明极限不存在；第一种沿X轴向原点逼近，此时y=0 第二种沿着y=x的方向逼近）其他的或者沿着y=2x，或者沿着Y轴即x=0

例题：下面第二题先用猜测法：分子是3次，分母是4次，最终是分母是1次的，因此结果是0；再用0*有界=0的方法，x趋于0， 剩下的部分是个[0,1]的

第三题：运用到夹逼定律和完全平方公式不等式

下面第一题先分子有理化，在运用由于x->0,y->0因此xy=0

下面第二题把x^2+y^2 看成一个整体，运用重要极限的(2+x)*1=2

下面第三题用0*有界=0

总结一下关于sinx形式，如果出现在分式中，凑成重要极限的形式，如果以单独的因式形式存在，用0*有界=0

二元函数的连续性

定义和一元函数的一样（基本不出题）