群的三个定义等价性证明：

1与2等价的证明容易迁移到1与3等价的证明，故只证明前者。

Proof：

任设a∈G，记e是G的左幺元，a*是其左逆元，a**是左逆元的左逆元。则

a**a*aa*=(a**a*)aa*=eaa*=aa* (1)

a**a*aa*=a**(a*a)a*=a**ea*=a**a*=e (2)

得aa*=e.(结合律太好用了你们知道吗)

于是

a=ea=aa*a=ae (3)

即a的左幺元必是右幺元。

再由aa*=e，由右逆元定义，a的左逆元也是右逆元。

证毕。■