在20世纪初的三大数学流派中，逻辑主义者一般不被认为是数学家。剩下的两派，直觉主义和形式主义则分别有几位大数学家支持。直觉主义者的代表人物为布劳威尔，形式主义者的代表人物为希尔伯特。布劳威尔和希尔伯特的争论从数学界一步步上升至政治界和人身攻击。下文整理了这两大数学思想代表人物的爱恨情仇。

1.蜜月期

从1908年布劳威尔第一次参加数学家大会以来，布劳威尔就开始展现自己卓越的数学天赋。在1908年到1912年间，布劳威尔的研究集中于拓扑学的研究，定义了映射的度，证明了区域不变量定理、嘉当-布劳威尔分离定理，澄清了维数的概念、证明了布劳威尔不动点定理。作为当时已经大名鼎鼎的数学家，希尔伯特意识到布劳威尔是一个优秀的数学天才。希尔伯特在1902年成为了《数学年鉴》几位最重要的编辑之一，1914年，希尔伯特邀请布劳威尔成为了《数学年鉴》的编辑。

2.布劳威尔研究重心的转向

早在1907年，布劳威尔就发表了自己的博士论文《逻辑原理的不可信》（也译《论逻辑基础》，因为出版时间的偏差，也有人认为是在1908年发表的），文中表现了明显的直觉主义观点。但是因为1908年布劳威尔刚刚博士毕业，还没有资格进行随心所欲的研究，所以他不得不研究他并不感兴趣几何学，在其中还使用了大量与直觉主义观点不符的方法（主要指反证法）。

1912年，由于几何与拓扑上的杰出贡献，布劳威尔当选阿姆斯特丹大学教授和荷兰皇家科学院院士。这时的布劳威尔决定不装了，摊牌了，他在就职演说上闭口不提拓扑，而是大谈形式主义和构造主义，这大大出乎人们意料。

从1913年开始，布劳威尔将研究重心置于直觉主义中。布劳威尔强烈地反对策梅洛的集合论，他主张在直觉主义框架下搭建新的数学。1918年，他发表了全新的集合论；1919年，他作出了测度的构造性理论；1923年，他给出了构造性函数论。

3.希尔伯特和布劳威尔的论战

布劳威尔在《直觉主义与形式主义》中首次明确了直觉主义和形式主义的概念，并且对直觉主义进行了升华，对形式主义进行了贬低。这种拉踩不仅仅是在数学和哲学上的，也是在文学上的。布劳威尔在文章中写道：“直觉主义者认为数学存在于心智中，形式主义者认为数学存在于纸面上。”

有趣的是，三大数学思想中，只有“形式主义”一词不是由本派数学家提出的。罗素骄傲地承认自己是逻辑主义者，布劳威尔骄傲地承认自己是直觉主义者，希尔伯特却从未说过自己是“形式主义者”。形式主义一词本就是布劳威尔为了区分自己的观点和主流数学观点创造的词汇。

布劳威尔连续的进攻使得希尔伯特忍无可忍。1904年希尔伯特曾经探讨过这个问题，但是他认为这个问题意义不大，便放弃了。20世纪20年代开始，希尔伯特开始连续发表文章重申自己所谓的“形式主义”观点，并且在1928年和1934年分别出版了《数理逻辑基础》和《数学基础》两本书，这标志着形式主义观点的最终形成。

4.希尔伯特和布劳威尔的决裂

布劳威尔认为希尔伯特是“在为旧数学做最后一次注定失败的努力”；希尔伯特的表述则更加直白，希尔伯特指责布劳威尔要对数学“大砍大杀”，希尔伯特还批判说“（布劳威尔和外尔）扔掉他们不喜欢的每一样的东西，并且粗暴地颁布一条禁令”，他还称布劳威尔和直觉主义是“科学的背叛者”。哪怕是面对迫害了自己诸多同僚和学生的纳粹党和真的进行了大砍大杀的盖世太保，希尔伯特也从来没有说过如此粗鲁且无礼的话，可见在希尔伯特眼中布劳威尔已经成为了比纳粹更加可怕的人。

在第一次世界大战结束后，德国数学遭到了国际数学协会和国际数学联合会的封锁。布劳威尔曾经多方游说，试图解除对德国数学家的限制。1928年，在这两个协会在意大利博洛尼亚的数学大会上，布劳威尔劝说几位参会的德国数学家进行数学上的“反封锁”。这一建议彻底激怒了希尔伯特，希尔伯特指责布劳威尔正在干涉德国内政，并且在损害科学事业。

1928年秋天，希尔伯特决心对布劳威尔发动彻底的人身攻击。希尔伯特利用自己的人脉，让《数学年鉴》做出了辞退布劳威尔的决定。辞退信让布劳威尔大受打击，他生病了好几天。最终在发烧的情况下，布劳威尔写信给希尔伯特的夫人和同僚，恳求他们劝希尔伯特改变想法，他说“（辞退决定）是希尔伯特在理智不健全的时候发出的”。甚至爱因斯坦也反对辞退布劳威尔的决定，拒绝在辞退信上签字。但是希尔伯特决心彻底彻底消除布劳威尔在数学上的影响，拒绝了所有的求情。

5.结局

在《数学年鉴》事件后，布劳威尔退出了数学界，几乎不再发表论文。第二次世界大战结束后，布劳威尔在阿姆斯特丹也遭受了排挤，他不能对自己创建的期刊施加影响，新创立的数学中心也和他没有关系。1951年布劳威尔退休，1966年布劳威尔死于一场车祸。

相比于布劳威尔，希尔伯特的晚年则要凄惨很多。纳粹党上台之后，希尔伯特的同僚和学生被大量驱逐，包括兰道、库朗、伯恩斯坦、诺特、波恩、外尔等人。1943年，希尔伯特在孤独中去世，参加他葬礼的人不超过十人。但在美国，大量数学家为希尔伯特展开了悼念活动，外尔专门为希尔伯特撰写了讣闻。巧合的是，外尔本是希尔伯特的学生，后期却加入了布劳威尔的阵营。