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大家好啊！
打算借这篇文章跟大伙分享十字相乘法。
先看一道例题。
例题一
第一眼还以为这道题只能用平方差公式进行因式分解，
随后发现还可以用十字相乘法进行分解。
咱们先用平方差公式进行因式分解。
先不急着使用十字相乘法来进行因式分解。
咱们先来聊聊十字相乘法。
在人教版 初中数学 八年级上册中，关于十字相乘法的介绍仅有寥寥数语。
主要是在人教版 高中数学 B版 必修 第一册 ，说得比较详细。
不过，我的记性比较差。而且十字相乘法在平时用得少。
所以我都没有办法灵活运用。
直到前几天，我受到湘教版 初中数学七年级下册的启发，
才对十字相乘法有了一些深入的理解。
教材中要求计算(a+b)(a+c)的结果。
并以a+b为长，a+c为宽来绘制一个长方形。
感兴趣的可以自行找来看看。
网页中的页码是第19。
可以在国家中小学智慧教育平台上注册，并免费阅读。
我按照人教版的思维惯性，绘制了一个长为a+b，宽为c+d的图形。
（因为我最开始使用的就是人教版的教材）
这幅几何图是我随意绘制的，只是作为示例。
虽然比例不可能匹配任何十字相乘法的代数式，
但是仅作为帮助自己思考的图形来说，已经足够了。
这是人教版上使用的十字交叉相乘法示例图。
常数项由b、d相乘得出。
二次项的系数由a、c相乘得出。
一次项的系数由ad+bc的和组成。
然后咱们再配合另一道例题，来帮助自己更好地理解、消化。
例题二
当然，我不能仅仅把结论摆出来，就当做完事了。
接下来，咱们来还原整个过程。
咱们先观察常数项——2。
常数项是由因数b、d相乘得出。
常数项是正数2，是两个正数或两个负数相乘的积。
咱们可以通过观察一次项的系数是正数，还是负数来判断。
情况1
如果一次项的系数是正数，常数项也是正数，
则常数项的因数，b和d是正数。
二次项的系数为正，它的两个因数a和c也都是正数。
情况2
如果一次项的系数是正数（在另一种情况下为负数），
常数项也是正数，则常数项的因数，b和d是正数。
二次项的系数为负，它的两个因数a和c中，有一个是负数。
还有另外几种情况，等一会再讨论。
也就是说，只要一次项的系数是正数，常数项也是正数。
那么构成常数项的因数，b和d都是正数。
若b和d皆为负数，虽然bd为正，但一次项的系数为负。
咱们已经知道这个多项式都是正数。
情况没有那么复杂。
bd=2，所以组合有两种可能。
第1种是b=1，d=2；
第2种是b=2，d=1。
先试着填入bd的第一种可能的组合。
接着咱们来确定a和c的数值。
ac=6。因此咱们需要找出6的因数：1、2、3、6。
组合有4种可能。
第1种是a=1，c=6；
第2种是a=6，c=1；
第3种是a=2，c=3；
第4种是a=3，c=2。
试着填入ac的第一种可能的组合。
紧接着，让a和d交叉相乘，b和c交叉相乘。
再让它们的积相加。
现在只要让积相加的和，与一次项的系数相符即可。
所以这个方法称之为十字相乘法。
这个组合不对。
换一个组合继续试。
这个组合也不对。
换一个组合继续试。
和与一次项的系数相符。
很好，咱们找到正确的组合了。
a=2，b=1，c=3，d=2。
代入
得到
其实还能找到另一种组合。
它们是等价的，只是排序有些不一样。
a=3，b=2，c=2，d=1。
代入
得到
情况3
如果一次项是负数，常数项是正数，
则常数项的因数，b和d都是负数。
二次项的系数为正，它的两个因数a和c也都是正数。
情况4
如果一次项是负数，常数项是负数，
则常数项的因数，b和d其中一个是负数。
二次项的系数为正，它的两个因数a和c也都是正数。
还有多种情况，这里就不再一一列举了。
这里列举的情况1~4，老实说我自己都记不住。
反正就是按照示例图那样，运用十字交叉相乘法一遍一遍地试。
真正理解后，很快就能找出正确的组合。
若真去背诵情况1~4，反而可能把自己绕晕的。
再说，就算真背下来了，最后还不是得老老实实一遍一遍地试……。
是不是有头绪了呢？
先从简单的入手。
x的系数是3。
3的因数为1、3。
ac=3。
组合有2种可能。
第1种是a=1，c=3；
第2种是a=3，c=1。
y的系数是-12。
12的因数为1、2、3、4、6、12。
由于bd=-12，所以b和d中必有一个是负数。
组合有12种可能。
第1种是b=-1，d=12；
第2种是b=-12，d=1；
第3种是b=-2，d=6；
第4种是b=-6，d=2；
第5种是b=-3，d=4；
第6种是b=-4，d=3；
第7种是b=1，d=-12；
第8种是b=12，d=-1；
第9种是b=2，d=-6；
第10种是b=6，d=-2；
第11种是b=3，d=-4；
第12种是b=4，d=-3；
组合有些多。
这种情况下，咱们可以运用一点点推理。
咱们已经知道ac的组合比较简单。
先设a=3，c=1。
由于这是一个二次二项式，按照二次三项式来说，缺少了一项。
咱们有足够的理由认为，缺少的那一项为0。
ad+bc=0
显然3×(-2)+(6)×1=0。
就算并非那么显然，也就是多试几次，多做几次实验的事儿。
a=3，b=6，c=1，d=-2。
代入
得到
按照惯例，咱们来检查一下结果是否正确。
很好，咱们的因式分解是正确的。
十字相乘法有趣的地方，在于可以快速地找到x的两个解。
（在某些特定的情况下）
例如：
咱们使用十字相乘法进行因式分解为：
平时使用十字相乘法进行因式分解，
我会把因数和排序组合，写在草稿另外一个角落里。
或者写在另外一张草稿纸上。
十字相乘法的交叉相乘图，会专门分开画出来。
之前的示例图是为了方便大伙观察，才把各种数值放到一起。
实际运算时，是这样的：
很多时候，甚至连字母之间交叉的线段都省略掉。
当然，我跟大伙分享的只是我个人的习惯。
大伙可以根据自己的习惯来调整，直到找到适合自己的方式。
还有很多种十字相乘法，我在这里只跟大伙分享目前我喜欢使用的方法。
喜欢是一个很主观的词语、情感。
好比榴莲，有人喜欢，也有人讨厌。
既然这是我写的文章，那么请大伙原谅我的任性吧。
如果以后我发现了更有趣的方法，也会再更新分享给大家。
好了，水了这么多字，但是又好像没有把问题讲明白。
最糟糕的是，我在这里自说自话老半天，自以为把题给讲清楚了。结果大家的反应是——“虽然你写的都是中文，每个字都认识，但是没有一句话能看懂的。”
大家有什么不明白的，可以私信我。我不一定每天都会看私信。但在看到后，一定会尽力为大家解答。同时也会根据大家的反馈，再对文章进行修改、调整。
平时，我遇到有什么不懂的，想要了解、学习的。也会尝试在B站上搜索相关的视频或专栏。基本都可以找到各行各业的UP主，无偿而又热心的分享。在这里，我想要表达对各位UP主和B站的感谢。
文中如有错漏之处，还望大家能给予指正。虽然本人的水平有限，才疏学浅，但就如鲁迅先生说的那样——有一分热，发一分光。
希望能帮到需要的人。让学习的成本更低、更便捷。
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好了，啰哩巴嗦的写了那么多，今天就忽悠到这里。谢谢大家。
